7.5 直線與平面垂直
一、選擇題
1．設m、n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列四個命題，其中正確命題的序號是( )
①若m⊥α，n∥α，則m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；③若m∥α，n∥α，則m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β.
a．①和② b．②和③ c．③和④ d．①和④
答案：a
2．二面角α－l－β的大小為銳角，p∈l，paα，pbβ且pa⊥l，則( )
a．∠apb的最大值等於二面角的平面角
b．∠apb的最小值等於二面角的平面角
c．二面角的平面角既不是∠apb的最大值，也不是∠apb的最小值
d．∠apb就是二面角的平面角
解析：如右圖，在平面β內作pc⊥l，則∠apc為二面角的平面角，cos∠apb＝cos∠bpc·cos∠apc≤cos∠apc，即∠apb≥∠apc，故選b.
答案： b
3．二面角α－ab－β的平面角是銳角，c∈α，cd⊥β，垂足為d，e∈ab，且∠ceb是銳角，則∠ceb與∠deb的大小關係為( )
a．∠ceb＞∠debb．∠ceb＜∠deb
c．∠ceb≤∠debd．∠ceb與∠deb的大小關係不確定
解析：如下圖：作df⊥ab垂足為f，鏈結cf由三垂線定理知∠cfd為二面角的平面角，可知∠ced，∠deb均為銳角，cos∠ceb＝cos∠deb·cos∠ced＜cos∠deb，即∠ceb＞∠deb.
答案： a
4．矩形abcd中，ab＝4，bc＝3，沿ac將矩形abcd折成乙個直二面角b－ac－d，則四面體abcd的外接球的體積為( )
abcd.π
答案： c
二、填空題
5．α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同的直線，給出四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三個論斷作為條件，剩餘的乙個論斷作為結論，寫出你認為正確的乙個命題
答案：可填①③④②與②③④①中的乙個
6．一條線段的兩個端點分別在乙個直二面角的兩個麵內，則這條線段與這兩個平面所成的角的和的範圍是________．
解析：作ac⊥l垂足為c，作bd⊥l垂足為d，鏈結bc、ad，
則∠bad和∠abc分別為直線ab和平面α和β所成角．
由cos∠abd＝cos∠abc·cos∠dbc≤cos∠abc，
即∠abd≥∠abc，∠abc＋∠bad≤∠abd＋∠bad＝90°.
答案：(0°，90°]
7．已知p是△abc所在平面α外一點，o是點p在平面α內的射影
(1)若p到△abc的三個頂點的距離相等，則o是△abc的
(2)若pa、pb、pc與平面α所成的角相等，則o是△abc的
(3)若p到△abc三邊距離相等，且o在△abc的內部，則o是△abc的
(4)若平面pab、pbc、pca與平面α所成的角相等，且o在△abc的內部，則o是△abc的
(5)若pa、pb、pc兩兩垂直，則o是△abc的________．
答案：(1)外心 (2)外心 (3)內心 (4)內心 (5)垂心
三、解答題
8．若p為△abc所在平面外一點，且pa⊥平面abc，平面pac⊥平面pbc，求證：bc⊥ac.
證明：∵平面pac⊥平面pbc，作ad⊥pc垂足為d，
根據平面與平面垂直的性質定理知：ad⊥平面pbc，則bc⊥ad，
又pa⊥平面abc，則bc⊥pa，∴bc⊥平面pac.因此bc⊥ac.
9．如右圖，在四稜錐v－abcd中，底面abcd是正方形，側面vad是正三角形，平面vad⊥底面abcd，
(1)證明ab⊥平面vad；
(2)求面vad與面vbd所成的二面角的正切值．
解答：(1)證明：∵平面vad⊥底面abcd，
又ab⊥ad，則ab⊥平面vad.
(2)取vd中點e，鏈結ae、be，
∵△vad是正三角形，則ae⊥vd，由三垂線定理知be⊥vd.
∴∠aeb為面vad與面vbd所成二面角的平面角．
設ab＝1，在rt△aed中，ae＝adsin 60°＝，
∴tan∠aeb＝＝.
10．如下圖所示，在正方體abcd－a1b1c1d1中，p是稜ad的中點，求二面角a－bd1－p的大小．
解答：∵ab⊥平面ad1p，∴平面ad1p⊥平面ad1b.
過p作pe⊥ad1垂足為e，
則pe⊥平面ad1b，作ef⊥bd1，鏈結pf，
則由三垂線定理知pf⊥bd1，
則∠pfe為二面角a－bd1－p的平面角，設ab＝1，
∵rt△aep∽rt△add1，＝∴pe＝＝，
在等腰△pbd1中，bp＝，bf＝bd1＝，
∴pf＝＝，在rt△pef中，sin∠pfe＝＝，∴∠pfe＝30°.
1．如圖，四稜錐s－abcd中，底面abcd為平行四邊形，側面sbc⊥底面abcd.已知∠abc＝45°，ab＝2，bc＝2，sa＝sb＝.
(1)證明sa⊥bc；
(2)求直線sd與平面sbc所成角的正弦值．
解答：(1)證明：作so⊥bc，垂足為o，鏈結ao，由側面sbc⊥底面abcd，得so⊥底面abcd.
因為sa＝sb，所以ao＝bo.
又∠abc＝45°，故△aob為等腰直角三角形，ao⊥bo，由三垂線定理，得sa⊥bc.
(2)由(1)知sa⊥bc，依題設ad∥bc，故sa⊥ad，
由ad＝bc＝2，sa＝，ao＝，得so＝1，sd＝.
△sab的面積：s1＝ab·＝.
鏈結db，得△dab的面積s2＝ab·adsin 135°＝2.
設d到平面sab的距離為h，由vd—sab＝vs—abd，得h·s1＝so·s2，
解得h＝.設sd與平面sab所成角為α，則sin α＝＝＝.
所以，直線sd與平面sab所成的角正弦值為.
2．如下圖，已知四稜錐p－abcd，pb⊥ad，側面pad為邊長等於2的正三角形，底面abcd為菱形，側面pad與底面abcd所成的二面角為120°.
(1)求點p到平面abcd的距離；
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