北京市西城區2023年高三一模試卷
數學（理科） 2014．4
第ⅰ卷（選擇題共40分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
8． 如圖，設為正四面體表面（含稜）上與頂點不重合的一點，由點p到四個頂點的距離組成的集合記為m，如果集合m中有且只有2個元素，那麼符合條件的點p有（ ）
（a）4個 （b）6個 （c）10個 （d）14個
第ⅱ卷（非選擇題共110分）
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．
9．設複數，其中，則______．
10． 若拋物線的焦點在直線上，則_____；的準線方程為_____．
11．已知乙個正三稜柱的所有稜長均等於2，它的俯檢視是乙個邊長為2的正三角形，那麼它的側（左）檢視面積的最小值是
12．若不等式組表示的平面區域是乙個四邊形，則實數的取值範圍是_______．
13． 科技活動後，3名輔導教師和他們所指導的3名獲獎學生合影留念（每名教師只指導一名學生），要求6人排成一排，且學生要與其指導教師相鄰，那麼不同的站法種數是______． （用數字作答）
14．如圖，在直角梯形中，，，，，，p為線段（含端點）上乙個動點，設，，對於函式，給出以下三個結論：
①當時，函式的值域為；
②，都有成立；
③，函式的最大值都等於4．
其中所有正確結論的序號是
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
在△abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c． 已知．
（ⅰ）求的大小；
（ⅱ）如果，，求△abc的面積．
16．（本小題滿分13分）
在某批次的某種燈泡中，隨機地抽取200個樣品，並對其壽命進行追蹤調查，將結果列成頻率分布表如下． 根據壽命將燈泡分成優等品、**和次品三個等級，其中壽命大於或等於500天的燈泡是優等品，壽命小於300天的燈泡是次品，其餘的燈泡是**．
（ⅰ）根據頻率分布表中的資料，寫出a，b的值；
（ⅱ）某人從燈泡樣品中隨機地購買了個，如果這n個燈泡的等級情況恰好與按三個等級分層抽樣所得的結果相同，求n的最小值；
（ⅲ）某人從這個批次的燈泡中隨機地購買了3個進行使用，若以上述頻率作為概率，用x表示此人所購買的燈泡中次品的個數，求x的分布列和數學期望．
17．（本小題滿分14分）
如圖，在四稜柱中，底面和側面都是矩形，是的中點，，．
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）求證：// 平面；
（ⅲ）若平面與平面所成的銳二面角的大小為，求線段的長度．
18．（本小題滿分13分）
已知函式其中．
（ⅰ）當時，求函式的圖象在點處的切線方程；
（ⅱ）如果對於任意，且，都有，求的取值範圍．
19．（本小題滿分14分）
已知橢圓，直線l與w相交於兩點，與x軸、軸分別相交於、兩點，o為座標原點．
（ⅰ）若直線的方程為，求外接圓的方程；
（ⅱ）判斷是否存在直線，使得是線段的兩個三等分點，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
20．（本小題滿分13分）
在數列中，． 從數列中選出項並按原順序組成的新數列記為，並稱為數列的項子列． 例如數列為的乙個4項子列．
（ⅰ）試寫出數列的乙個3項子列，並使其為等差數列；
（ⅱ）如果為數列的乙個5項子列，且為等差數列，證明：的公差滿足；
（ⅲ）如果為數列的乙個項子列，且為等比數列，證明：．
北京市西城區2023年高三一模試卷參***及評分標準
高三數學（理科2014．4
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．
1．c2．b3．d4．c
5．d6．a7．a8．c
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．
9101112．
1314．，
注：第10題第一問2分，第二問3分． 第14題若有錯選、多選不得分．
三、解答題：本大題共6小題，共80分． 其他正確解答過程，請參照評分標準給分．
15．（本小題滿分13分）
（ⅰ）解：因為 ，
所以3分
又因為 ，
所以5分
（ⅱ）解：因為 ，，
所以7分
由正弦定理9分
得10分
因為 ，
所以解得 ，
因為 ，
所以11分
故△abc的面積13分
16．（本小題滿分13分）
（ⅰ）解2分
（ⅱ）解：由表可知：燈泡樣品中優等品有50個，**有100個，次品有50個，
所以優等品、**和次品的比例為4分
所以按分層抽樣法，購買燈泡數，
所以的最小值為6分
（ⅲ）解：的所有取值為7分
由題意，購買乙個燈泡，且這個燈泡是次品的概率為， ……………… 8分
從本批次燈泡中購買3個，可看成3次獨立重複試驗，
所以，，
，11分
所以隨機變數的分布列為：
12分所以的數學期望．
13分（注：寫出，，． 請酌情給分）
17．（本小題滿分14分）
（ⅰ）證明：因為底面和側面是矩形，
所以 ，，
又因為 ，
所以平面2分
因為平面，
所以4分
（ⅱ）證明：因為 ，
所以四邊形是平行四邊形
連線交於點，連線，則為的中點．
在中，因為，，
所以6分
又因為平面，平面，
所以平面8分
（ⅲ）解：由（ⅰ）可知，
又因為 ，，
所以平面9分
設g為ab的中點，以e為原點，eg，ec，所在直線分別為x軸，y軸，z軸
如圖建立空間直角座標系，
設，則．
設平面法向量為，
因為 ，
由得令，得11分
設平面法向量為，
因為 ，
由得令，得12分
由平面與平面所成的銳二面角的大小為，
得13分
解得14分
18．（本小題滿分13分）
（ⅰ）解：由題意，得，其中2分
所以 ，
又因為，
所以函式的圖象在點處的切線方程為4分
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