北京市東城區2013-2014學年度第二學期綜合練習（一）
高三數學 （理科）
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
1．已知集合，則
（a），或b），或
（cd）
2．複數
（a） （b）（c） （d）
3．為了得到函式的圖象，只需把函式的圖象
（a）向左平移個單位長度b）向右平移個單位長度
（c）向左平移個單位長度d）向右平移個單位長度
4．設等差數列的前項和為，若，，則
（a） （b） （c） （d）
5．在極座標系中，點到直線的距離等於
（a） （b） （c） （d）
6．如圖，在△中，，，是的中點，則
（a（b（c
（d）不能確定
7．若雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為
（a） （b） （c） （d）
8．已知符號函式則函式的零點個數為
（abcd）
第二部分（非選擇題共110分）
二、 填空題共6小題，每小題5分，共30分。
9．的二項展開式中的常數項為用數字作答）
10．如圖，是圓的直徑，延長至，使，且，是圓的切線，切點為，連線，則
11．設不等式組表示的平面區域為,在區域內隨機取乙個點，則的概率為
12．已知函式是定義在上的奇函式.當時，，則時， 的解析式為不等式的解集為
13．某寫字樓將排成一排的個車位出租給4個公司，其中有兩個公司各有兩輛汽車，如果這兩個公司要求本公司的兩個車位相鄰，那麼不同分配方法共有種．（用數字作答）
14．如圖，在三稜錐中，，，平面平面，為中點，點，分別為線段，上的動點（不含端點），且，則三稜錐體積的最大值為
三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
15．（本小題共13分）
在△中，．
（ⅰ）求角的值；
（ⅱ）如果,求△面積的最大值．
16．（本小題共13分）
某學校為了解高三年級學生寒假期間的學習情況，抽取甲、乙兩班，調查這兩個班的學生在寒假期間每天平均學習的時間（單位：小時），統計結果繪成頻率分布直方圖（如圖）．已知甲、乙兩班學生人數相同，甲班學生每天平均學習時間在區間的有8人．
（ⅰ）求直方圖中的值及甲班學生中每天平均學習時間在區間的人數；
（ⅱ）從甲、乙兩個班每天平均學習時間大於個小時的學生中任取人參加測試．設人中甲班學生的人數為，求的分布列和數學期望．
17．（本小題共14分）
如圖，在四稜錐中，底面為矩形，平面，，，是中點，為上一點.
（ⅰ）求證：平面；
（ⅱ）當為何值時，二面角為.
18．（本小題共13分）
已知函式，.
（ⅰ）當時，求的單調區間；
（ⅱ）已知點和函式圖象上動點，對任意，直線傾斜角都是鈍角，求的取值範圍.
19、（本小題共13分）
已知橢圓過點和點．
（ⅰ）求橢圓的方程；
（ⅱ）設過點的直線與橢圓交於，兩點，且，求直線的方程．
20、（本小題共14分）
已知集合()，若該集合具有下列性質的子集：每個子集至少含有個元素，且每個子集中任意兩個元素之差的絕對值大於，則稱這些子集為子集，記子集的個數為.
(ⅰ)當時，寫出所有子集；
(ⅱ)求；
（ⅲ）記，求證：.
北京市東城區2013-2014學年度第二學期綜合練習（一）
高三數學及評分標準 （理科）
參***
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1、c ； 2、c ； 3、d； 4、d；5、a ； 6、b ； 7、c ； 8、b；
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
9、； 10、 ， ；11、 ；
12、 ， ；13、 24；14、；
注：兩個空的填空題第乙個空填對得3分，第二個空填對得2分．
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
15、（共13分）
解：（ⅰ）因為，，
所以，．
因為，所以． …………………6分
（ⅱ）因為，所以．
因為，所以．所以（當且僅當時，等號成立）．
所以．所以△面積最大值為．……………13分
16、（共13分）
解：（ⅰ）由直方圖知，，解得．
因為甲班學習時間在區間的有人，
所以甲班的學生人數為．所以甲、乙兩班人數均為人．
所以甲班學習時間在區間的人數為
（人6分
（ⅱ）乙班學習時間在區間的人數為（人）．
由（ⅰ）知甲班學習時間在區間的人數為人．
在兩班中學習時間大於小時的同學共人．
的所有可能取值為．
． ．
． ．
所以隨機變數的分布列為：
13分17、（共14分）
證明：（ⅰ）因為平面，平面，所以.
因為是矩形，所以.
因為，所以平面.
因為平面，所以.
因為，是中點，所以.
因為，所以平面.…………………6分
（ⅱ）解：因為平面，，
所以以為座標原點，所在直線為軸建立空間直角座標系，設，則，.
所以.設平面的法向量為，
則所以令，得，，
所以.平面的法向量為.
所以.所以.
所以當時，二面角為. …………………14分
18、（共13分）
解：（ⅰ）當時，，定義域為 ，
所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為. ……5分
（ⅱ）因為對任意，直線的傾斜角都是鈍角，
所以對任意，直線的斜率小於，
即，，即在區間上的最大值小於.
，.令（）.
（1）當時，在上單調遞減，
，顯然成立，所以.
（2）當時，二次函式的圖象開口向下，且，，
，，故，在上單調遞減，
故在上單調遞減，，顯然成立，
所以.（3）當時，二次函式的圖象開口向上，
且，，所以，當時，，
當時，.
所以在區間內先遞減再遞增，
故在區間上的最大值只能是或.
所以即所以.
綜上13分
19、（共13分）
解：（ⅰ）因為橢圓過點和點，
所以，由，得．
所以橢圓的方程為．……………5分
顯然直線l的斜率存在，且．
設直線的方程為．
由消去並整理得．
由，．設，，中點為，
得，．由，知，所以，即．
化簡得，滿足．所以．
因此直線的方程為13分
20、（共14分）
解：(ⅰ) 當時，所有子集：. …… 4分
(ⅱ)的子集可分為兩類：
第一類子集中不含有，這類子集有個；
第二類子集中含有，這類子集或為的子集與的並，
或為的單元素子集與的並，共有個.
所以.因為，所以. ………9分
（ⅲ）因為
所以，①-②得
所以14分
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