2023年北京市東城區初三一模
數學試題 2015.5
學校班級姓名考號
一、選擇題（本題共30分，每小題3分）
下面各題均有四個選項，其中只有乙個是符合題意的．
1．與的和為的數是
abcd．
2．2023年元旦期間，北京各大公園接待遊客達245 000萬人次。其中， 「冰雪樂園」吸引了大批遊客親身感受冰雪帶來的快樂，一起為北京申辦2023年冬奧會助力加油.用科學記數法表示245 000 ，正確的是
abcd．
3．乙個幾何體的三檢視如圖所示，則這個幾何體是
a．圓柱b．球
c．圓錐d． 稜柱
4．在某校初三年級古詩詞比賽中,初三(1)班42名學生的成績統計如下,則該班學生成績的
中位數和眾數分別是
5． 在六張卡片上分別寫有六個數,從中任意抽取一張,卡片上的數為無理數的概率是
6．正五邊形的每個外角等於
abcd.
7．如圖，是的直徑，點在上，過點作的切線交的延長線於點，連線，. 若，則的度數是
a. b． cd．
8．小李駕駛汽車以千公尺/小時的速度勻速行駛小時後，途中靠邊停車接了半小時**，然後繼續勻速行駛.已知行駛路程（單位：千公尺）與行駛時間（單位：
小時）的函式圖象大致如圖所示，則接**後小李的行駛速度為
abcd.
9. 如圖，已知∠mon =60°，op是∠mon的角平分線 ，點a是op上一點，過點a作on的平行線交om於點b,ab=4.則直線ab與on之間的距離是
abcd.
10. 如圖1，和都是等腰直角三角形，其中，點與點重合，點在上，，.如圖2，保持不動，沿著線段從點向點移動， 當點與點重合時停止移動.設，與重疊部分的面積為，則關於的函式圖象大致是
abcd
二、填空題（本題共18分，每小題3分）
11．分解因式
12．計算的結果為
13. 關於的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值範圍
是14. 北京的水資源非常匱乏，為促進市民節水，從2023年5月1日起北京市居民用水實行階梯水價，實施細則如下表:
北京市居民用水階梯水價表單位:元/立方公尺
某戶居民從年月日至月日,累積用水立方公尺,則這戶居民個月共需繳納水費元
15．已知女排賽場球網的高度是公尺，某排球運動員在一次扣球時，球恰好擦網而過，落在對方場地距離球網公尺的位置上，此時該運動員距離球網公尺，假設此次排球的執行路線是直線，則該運動員擊球的高度是公尺．
16．在平面直角座標系中，記直線為.點是直線與軸的交點，以為
邊做正方形,使點落在在軸正半軸上，作射線交直線於點，以
為邊作正方形,使點落在在軸正半軸上，依次作下去，得到如圖
所示的圖形.則點的座標是點的座標是 ．
三、解答題（本題共30分，每小題5分）
17．如圖，與交於點，，．
求證：．
18. 計算：.
19．解不等式組：
20．先化簡，再求值：，其中．
21．列方程或方程組解應用題：
年「植樹節」前夕，某小區為綠化環境，購進棵柏樹苗和棵棗樹苗，且兩種樹苗所需費用相同.每棵棗樹苗的進價比每棵柏樹苗的進價的倍少元，每棵柏樹苗的進價是多少元？
22．在平面直角座標系中，過點向軸作垂線，垂足為，連線.雙曲線經過斜邊的中點，與邊交於點．
（1）求反比例函式的解析式；
（2）求△的面積．
四、解答題（本題共20分，每小題5分）
23． 如圖，中，,是邊上的中線，分別過點，作，
的平行線交於點，且交於點，連線.
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，求的值．
24．為弘揚中華傳統文化,某學校決定開設民族器樂選修課.為了更貼合學生的興趣，對學生最喜愛的一種民族樂器進行隨機抽樣調查，收集整理資料後，繪製出以下兩幅未完成的統計圖，請根據圖1和圖2提供的資訊，解答下列問題：
（1）在這次抽樣調查中，共調查名學生；
（2）請把條形圖（圖1）補充完整；
（3）求扇形統計圖（圖2）中，二胡部分所對應的圓心角的度數；
（4）如果該校共有學生名，請你估計最喜愛古琴的學生人數．
25. 如圖,在⊙中，為直徑，，弦與交於點，過點分別作⊙的切線交於點，且gd與的延長線交於點．
（1）求證：;
（2）已知：，⊙的半徑為，求的長．
26. 在四邊形中，對角線與交於點，是上任意一點，於點，交於點．
(1)如圖1,若四邊形是正方形,判斷與的數量關係;
明明發現，與分別在和中，可以通過證明和全等,得到與的數量關係;
請回答：與的數量關係是
(2) 如圖2,若四邊形是菱形, ,請參考明明思考問題的方法，求的值.
圖1圖2
五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）
27．在平面直角座標系中，拋物線過點，,與軸交於點．
（1）求拋物線的函式表示式；
（2）若點在拋物線的對稱軸上，當的周長最小時，求點的座標;
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點,使成為以為直角邊的直角三角形？若存在,求出點的座標；若不存在,請說明理由.
28. 已知：rt△a′bc′和 rt△abc重合，∠a′c′b=∠acb=90°，∠ba′c′=∠bac=30°，現將rt△a′bc′ 繞點b按逆時針方向旋轉角α（60°≤α≤90°），設旋轉過程中射線c′c和線段aa′相交於點d,連線bd．
（1）當α=60°時，a』b 過點c，如圖1所示，判斷bd和a′a之間的位置關係，不必證明；
（2）當α=90°時，在圖2中依題意補全圖形，並猜想（1）中的結論是否仍然成立，不必證明；
（3）如圖3，對旋轉角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的結論是否仍然成立；若成立，請證明你的結論；若不成立，請說明理由.
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