東城區普通高中示範校高三綜合練習(一)
高三數學（理） 2012.12
命題學校:北京彙文中學
一、 選擇題：本大題共8小題。每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1. 已知全集集合則為
a. b. c. d.
2.的a.充分不必要條件b.必要不充分條件
c.充要條件d.既不充分也不必要條件
3.若則下列各式正確的是（ ）
ab.c. d.
4.在等差數列中，且則的最大值是（ ）
a.3 b.6c.9 d.36
5.如圖，某幾何體的正檢視和俯檢視都是矩形，側檢視是平行四邊形，則該幾何體的體積為（ ）
a. b. c. d.
6.下列命題中，真命題是（ ）
a. b.
c. d.
7.已知矩形將沿矩形的對角線bd所在的直線進行翻摺，在翻摺過程中
a.存在某個位置，使得直線ac與直線bd垂直
b.存在某個位置，使得直線ab與直線cd垂直
c.存在某個位置，使得直線ad與直線bc垂直
d.對任意位置，三隊直線「ac與bd」, 「ab與cd」, 「ad與bc」均不垂直
8.設函式若互不相等的實數滿足則的取值範圍是 （ ）
a. b. c. d.
二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分，把答案填在題中橫線上。
9.已知——————。
10.函式在區間上存在乙個零點，則實數a的取值範圍是————
11.由曲線軸所圍成的圖形的面積為————。
12.正三角形abc邊長為2，設
13.已知命題：是奇函式；。下列函式：
①②③中
能使p,q都成立的是寫出符合要求的所有函式的序號)。
14.集合集合
設集合b是所有b(m)的並集，則的面積為
一、 解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明步驟或演算步驟。
15.（本小題滿分13分）
已知函式
（1） 求函式的最小正週期和單調遞增區間；
（2） 函式的圖象經過怎樣的變換可以得到的圖象？
16. （本小題滿分13分）
已知數列的前n項的和為數列滿足。
（1） 求數列，的通項公式；
（2） 求數列的前n項和。
17. （本小題滿分14分）
如圖，在三稜錐中，側面與地面垂直，e,o分別是sc,ac的中點，
（1） 求證：
（2） 若點f**段bc上，問：無論f在bc的何處，是否都有請證明你的結論；
（3） 求二面角的平面角的余弦值。
18. （本小題滿分13分）
某港口o要將一件重要物品用小艇送到一膄正在航行的龍船上，在小艇出發時，龍船位於港口o北偏西且與該港口相距20海浬的a處，並以30海浬每小時的航行速度沿正東方向勻速行駛，假設該小艇沿直線方向以v海浬每小時的航行速度勻速行駛，經過t小時與輪船相遇。
（1） 若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？
（2） 假設小艇的最高航行速度只能的達到30海浬每小時，試設計航行方案（即確定航行方向與航行速度的大小），使得小艇能以最短時間與輪船相遇，並說明理由。
19. （本小題滿分13分）
已知（1） 求函式的單調區間；
（2） 對不等式恆成立，求a的取值範圍。
20. （本小題滿分14分）
將所有平面向量組成的集合記作，是從到的對映，記作其中都是實數。定義對映的模為：在的條件下的最大值，記作.若存在非零向量及實數使得則稱為的乙個特徵值。
（1） 若
（2） 如果計算的特徵值，並求相應的；
（3） 若要使有唯一的特徵值，實數應滿足什麼條件？試找出乙個對映，滿足以下兩個條件：
①有唯一的特徵值，②，並驗證滿足這兩個條件。
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