1．(2016·浙江)設數列的前n項和為sn.若s2＝4，an＋1＝2sn＋1，n∈n*，則a1＝______，s5＝______.
答案 1 121
解析由解得a1＝1，a2＝3，
當n≥2時，由已知可得：
an＋1＝2sn＋1，①
an＝2sn－1＋1，②
①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an，又a2＝3a1，
∴是以a1＝1為首項，以q＝3為公比的等比數列．
∴s5＝＝121.
2．(2016·四川)已知數列的首項為1，sn為數列的前n項和，sn＋1＝qsn＋1，其中q>0，n∈n*.
(1)若2a2，a3，a2＋2成等差數列，求數列的通項公式；
(2)設雙曲線x2－＝1的離心率為en，且e2＝，證明：e1＋e2＋…＋en>.
(1)解由已知，sn＋1＝qsn＋1，sn＋2＝qsn＋1＋1，兩式相減得an＋2＝qan＋1，n≥1.又由s2＝qs1＋1得a2＝qa1，故an＋1＝qan對所有n≥1都成立．
所以數列是首項為1，公比為q的等比數列．
從而an＝qn－1.
由2a2，a3，a2＋2成等差數列，可得
2a3＝3a2＋2，即2q2＝3q＋2，則(2q＋1)(q－2)＝0，
由已知，q>0，故q＝2.所以an＝2n－1(n∈n*)．
(2)證明由(1)可知，an＝qn－1.
所以雙曲線x2－＝1的離心率
en＝＝.
由e2＝＝，解得q＝.
因為1＋q2(k－1)>q2(k－1)，
所以》qk－1(k∈n*)．
於是e1＋e2＋…＋en>1＋q＋…＋qn－1＝.
故e1＋e2＋…＋en>.
1.數列的綜合問題，往往將數列與函式、不等式結合，探求數列中的最值或證明不等式.2.
以等差數列、等比數列為背景，利用函式觀點探求引數的值或範圍.3.將數列與實際應用問題相結合，考查數學建模和數學應用.
熱點一利用sn，an的關係式求an
1．數列中，an與sn的關係：
an＝.
2．求數列通項的常用方法
(1)公式法：利用等差(比)數列求通項公式．
(2)在已知數列中，滿足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，則可用累加法求數列的通項an.
(3)在已知數列中，滿足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，則可用累積法求數列的通項an.
(4)將遞推關係進行變換，轉化為常見數列(等差、等比數列)．
例1 已知數列的前n項和為sn，若sn＝2an－2n，則sn
答案 n·2n
解析由sn＝2an－2n，得s1＝a1＝2a1－2，a1＝2，sn＝2(sn－sn－1)－2n (n≥2)，則sn＝2sn－1＋2n (n≥2)，
－＝1(n≥2)，所以是首項為＝1，公差為1的等差數列，所以＝＋n－1＝n，故sn＝n·2n.
思維昇華給出sn與an的遞推關係，求an，常用思路：一是利用sn－sn－1＝an(n≥2)轉化為an的遞推關係，再求其通項公式；二是轉化為sn的遞推關係，先求出sn與n之間的關係，再求an.
跟蹤演練1 已知正項數列的前n項和為sn，且sn＝，則數列的通項公式是________．
答案 an＝2n
解析 sn＝，當n＝1時，a1＝s1＝，解得a1＝2或a1＝0(捨去)．
當n≥2時，由an＝sn－sn－1＝－a－a＝2(an＋an－1)，
因為an>0，所以an＋an－1≠0，則an－an－1＝2，
所以數列是首項為2，公差為2的等差數列，
故an＝2n.
熱點二數列與函式、不等式的綜合問題
數列與函式的綜合問題一般是利用函式作為背景，給出數列所滿足的條件，通常利用點在曲線上給出sn的表示式，還有以曲線上的切點為背景的問題，解決這類問題的關鍵在於利用數列與函式的對應關係，將條件進行準確的轉化．數列與不等式的綜合問題一般以數列為載體，考查最值問題，不等關係或恆成立問題．
例2 已知等比數列的前n項和為sn，s1，s3，s2成等差數列，且a1－a3＝3.
(1)求的通項公式an；
(2)求sn，並求滿足sn≤2的n的值．
解 (1)設等比數列的首項為a1，公比為q.
依題意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
由於a1≠0，故2q2＋q＝0，又q≠0，從而q＝－，
由已知可得a1－a1(－)2＝3，故a1＝4，
∴an＝4(－)n－1.
(2)由(1)得a1＝4，q＝－，
∴sn＝＝ [1－(－)n]，
由sn＝ [1－(－)n]≤2得(－)n≥，
當n為奇數時不滿足，當n為偶數時，
(－)n遞減，(－)n≤.
∴滿足(－)n＝的n的值為2，即滿足sn≤2的n的值為2.
思維昇華解決數列與函式、不等式的綜合問題要注意以下幾點：(1)數列是一類特殊的函式，函式定義域是正整數，在求數列最值或不等關係時要特別重視；(2)解題時準確建構函式，利用函式性質時注意限制條件；(3)不等關係證明中進行適當的放縮．
跟蹤演練2 若數列的前n項和為sn，點(an，sn)在y＝－x的圖象上(n∈n*)．
(1)求數列的通項公式；
(2)若c1＝0，且對任意正整數n都有cn＋1－cn＝an.求證：對任意正整數n≥2，總有≤＋＋＋…＋＜.
(1)解 ∵sn＝－an，
∴當n≥2時，an＝sn－sn－1＝an－1－an，
∴an＝an－1.又∵s1＝－a1，∴a1＝，
∴an＝ ()n－1＝()2n＋1.
(2)證明由cn＋1－cn＝an＝2n＋1，得當n≥2時，cn＝c1＋(c2－c1)＋(c3－c2)＋…＋(cn－cn－1)＝0＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2－1＝(n＋1)(n－1)．
＝×[(1
＝ [(1＋)－(＋)]
＝－ (＋)＜.
又原式得證．
熱點三數列的實際應用
用數列知識解相關的實際問題，關鍵是合理建立數學模型——數列模型，弄清所構造的數列是等差模型還是等比模型，它的首項是什麼，項數是多少，然後轉化為解數列問題．求解時，要明確目標，即搞清是求和，還是求通項，還是解遞推關係問題，所求結論對應的是解方程問題，還是解不等式問題，還是最值問題，然後進行合理推算，得出實際問題的結果．
例3 自從祖國大陸允許台灣農民到大陸創業以來，在11個省區設立了海峽兩岸農業合作試驗區和台灣農民創業園，台灣農民在那裡申辦個體工商戶可以享受「綠色通道」的申請、受理、審批一站式服務，某台商第一年年初到大陸就創辦了一座120萬元的蔬菜加工廠m，m的價值在使用過程中逐年減少，從第二年到第六年，每年年初m的價值比上年年初減少10萬元，從第七年開始，每年年初m的價值為上年年初的75%.
(1)求第n年年初m的價值an的表示式；
(2)設an＝，若an大於80萬元，則m繼續使用，否則須在第n年年初對m更新，證明：必須在第九年年初對m更新．
(1)解當n≤6時，數列是首項為120，公差為－10的等差數列，故an＝120－10(n－1)＝130－10n，
當n≥7時，數列從a6開始的項構成乙個以a6＝130－60＝70為首項，以為公比的等比數列，
故an＝70×()n－6，
所以第n年年初m的價值an＝
(2)證明設sn表示數列的前n項和，由等差數列和等比數列的求和公式，得
當1≤n≤6時，sn＝120n－5n(n－1)，
an＝＝120－5(n－1)＝125－5n≥95>80，
當n≥7時，由於s6＝570，
故sn＝570＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70××4×[1－()n－6]＝780－210×()n－6.
因為是遞減數列，所以是遞減數列．
因為an＝＝，
a8＝≈82.734>80，
a9＝≈76.823<80，
所以必須在第九年年初對m更新．
思維昇華常見數列應用題模型的求解方法
(1)產值模型：原來產值的基礎數為n，平均增長率為p，對於時間n的總產值y＝n(1＋p)n.
(2)銀行儲蓄複利公式：按複利計算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和y＝a(1＋r)n.
(3)銀行儲蓄單利公式：利息按單利計算，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和y＝a(1＋nr)．
(4)分期付款模型：a為貸款總額，r為年利率，b為等額還款數，則b＝.
跟蹤演練3 一牧羊人趕著一群羊通過6個關口，每過1個關口守關人將拿走當時羊的一半，然後退還1只給牧羊人，過完這些關口後，牧羊人只剩下2隻羊，則牧羊人在過第1個關口前有________隻羊．
答案 2
解析記此牧羊人通過第1個關口前、通過第2個關口前、……、通過第6個關口前，剩下的羊的隻數組成數列(n＝1,2,3,4,5,6)，則由題意得a2＝a1＋1，a3＝a2＋1，…，a6＝a5＋1，而a6＋1＝2，解得a6＝2，因此代入得a5＝2，a4＝2，…，a1＝2.
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