數列與函式，數列與向量，數列與不等式，數列與解析幾何的綜合問題，用數列知識解決實際問題等內容是近幾年高考的熱點問題。
一、由遞推數列求通項公式的幾種基本形式
1、型2、型（a、b為常數且a≠1
例1、某林場年初有森林木材存量s立方公尺，木材以每年25%的增長率生長，而每年末要砍伐固定的木材量x立方公尺，為實現經過兩次砍伐後木材的存量增加50%，則x的值是多少？
解：設每次砍伐木材的存量為,則
由題意：
解得：例2、（2023年東城區一模題）某油庫已儲油料a噸，按計畫正式運營後的第一年進油量為已儲油量的25%，以後每年的進油量為上一年底儲油量的25%，且每年運出b噸，設為正式運營後第n年底的儲油量。
（1）求的表示式並加以證明；
（2）為抵禦突發事件，該油庫年底儲油量不得少於噸，如果可以**以證明，如果不行請說明理由。（取lg2=0.30,lg3=0.48）
解：（1）依題意，油庫原有儲油量為a噸，則
由題意得：
上式可寫為：
所以數列是公比為的等差數列，首項為
(2) 如果噸，該油庫第n年年底儲油量不得少於噸，
即該油庫只能在5年內運營，不能長期運營。
3、 型(a、b為常數)
例數列中中，，，求：通項公式；
二、數列的項與前n項和的遞推關係
4、例在數列中中，，當時，成等比數列。求：
(1) 通項
(2) 數列所有項的和。
解：(1)成等比數列
所以： 即
所以：是公差為2，首項為1的等差數列。
當時，所以(2) 由(1)得：
5、例已知各項為正數的數列的前項和為，且。
(1) 求數列的通項；
(2) 是否存在正整數p,q，使得不等式對所有正整數均成立？並證明你的結論。
解、(1) 由，當n=1時，，
當時，兩式相減，得：
即： 又，所以
(2) 記
由(1)知
當n=1時，若成立，則，
又p,q是正整數，故：p=1, q=1
猜想：用數學歸納法證明：當n=1時，結論成立。
假設當n=k時結論成立，即
則當n=k+1時，
即證：，
即 所以當n=k+1時，成立，綜上所述，存在p=1, q=1，使得
對所有正整數均成立。
三、鞏固練習（2023年高考試題、模擬試題）
1、有人玩擲骰子移動棋子的遊戲，棋盤分為a、b兩方，開始時棋子放在a方，根據下列①、②、③的規定移動棋子：①骰子出現1點時，不能移動棋子；②出現2、3、4、5點時，把棋子移向對方；③出現6點時，如果棋子在a方就不動，如果棋子在b方就移至a方．將骰子擲了n次後，棋子仍在a方的概率記為pn．
(1) 對於任意n∈n*，證明點(pn，pn＋1)總在過定點，斜率為的直線上；
(2)求pn．
解：(1)設把骰子擲了n＋1次後，棋子仍在a方的概率為pn+1，有兩種情況：
①第n次棋子在a方，其概率為pn，且第n＋1次骰子出現1點或6點，棋子不動，其概率為
②第n次棋子在b方，且第n＋1次骰子出現2，3，4，5或6點，其概率為．
∴，即∴(pn，pn＋1)總在過定點，斜率為的直線上． 8分
(2)p0＝1，，由(1)知，
∴{}是首項為，公比為的等比數列 10分
12分2、全國卷二理（19）數列的前n項和記為sn，已知a1＝1，an＋1＝sn（n＝1，2，3，…）
證明：(ⅰ)數列{}是等比數列；(ⅱ)sn＋1＝4an
證（i）由a1=1,an+1=sn(n=1,2,3，…)，知a2=s1=3a1,
又an+1=sn+1-sn(n=1,2,3，…),則sn+1-sn=sn(n=1,2,3，…)，
∴nsn+1=2(n+1)snn=1,2,3，…).
故數列{}是首項為1，公比為2的等比數列
證（ii） 由（i）知，，於是sn+1=4(n+1)·=4an(n)
又a2=3s1=3, 則s2=a1+a2=4=4a1, 因此對於任意正整數n≥1都有sn+1=4an
3、全國卷三理(22)已知數列的前n項和滿足：
⑴ 寫出求數列的前3項a1,a2,a3；
⑵ 求數列的通項公式；
⑶ 證明：對任意的整數m>4，有
解：⑴當n=1時,有：s1=a1=2a1+(-1) a1=1；
當n=2時,有：s2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；
當n=3時,有：s3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；綜上可知a1=1,a2=0,a3=2；
⑵由已知得：，化簡得：
上式可化為：，
故數列{}是以為首項, 公比為2的等比數列.
故 ∴
數列{}的通項公式為：
⑶ 由已知得：
. 故，( m>4)
4、（04年福建）某企業2023年的純利潤為500萬元，因裝置老化等原因，企業的生產能力將逐年下降，若不進行技術改造，**從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業一次性投入資金600萬元進行技術改造，**在未扣除技術改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤為500（1+）萬元。（1）設從今年起的前n年，若該企業不進行技術改造的累計純利潤為an萬元，進行技術改造後的累計利潤為bn萬元（須扣除技術改造資金），求an、與bn的表示式。（2）依上述**，從今年起該企業至少經過多少年，進行技術改造後的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤?
.解：（ⅰ）依題設
an=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n－10n2；
（ⅱ）bn－an=(500n－－100) －(490n－10n2)
=10n2+10n－－100=10[n(n+1) －－10].
因為函式y=x(x+1) －－10在（0，+∞）上為增函式，
當1≤n≤3時，n(n+1) －－10≤12－－10<0；
當n≥4時，n(n+1) －－10≥20－－10>0.
∴僅當n≥4時，bn>an.
答：至少經過4年，該企業進行技術改造後的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤.
5、（04年重慶）設a1=1,a2=,an+2=an+1-an (n=1,2,---),令bn=an+1-an (n=1,2---)求數列的通項公式，(2)求數列的前n項的和sn。
解：（i）因
故是公比為的等比數列，且
（ii）由
注意到可得
記數列的前n項和為tn，則
6、設曲線c：y=x2(x＞0)上的點p0(x0，y0)，過p0作曲線c的切線與x軸交於q1，過q1作平行於y軸的直線與曲線c交於p1(x1，y1)，然後再過p1作曲線c的切線交x軸於q2，過q2作平行於y軸的直線與曲線c交於p2(x2，y2)，依次類推，作出以下各點：p0，q1，p1，q2，p2，q3，…，pn，qn+1，…，已知x0=2，設pn(xn，yn)(n∈n*).
(1)求出過點p0的切線方程；
(2)設xn=f(n)，求f(n)的表示式；
(3)設sn=x0+x1+…+xn，求sn.
解：(1)∵k0=2x0=4，∴過點p0的切線方程為4x-y-4=0. 3分
(2)∵kn=2xn，∴過pn的切線方程為
y-xn2=2xn(x-xn). 5分
將qn+1(xn+1,0)的座標代入方程得
-xn2=2xn(xn+1-xn).
7分 故｛xn｝是首項為x0=2，公比為的等比數列.
∴xn=f(n)=2·，即f(n)=. 9分
(3)，
∴=47、 已知一列非零向
（ⅰ）證明：是等比數列；
（ⅱ）求向量
（ⅲ）設一列，記為為座標原點，求點列的極限點b的座標.
解：（1）
………………2分
首項為常數，是等比數列.………3分
（2）5分
，的夾角為………………7分
（3）8分
一般地，
用數學歸納法易證成立.………………10分
……………………11分
設∴極限點b的座標為14分
專題三第二講數列的綜合應用配套限時規範訓練
第二講數列的綜合應用 一 選擇題 1 已知數列的前n項和sn n2 9n，第k項滿足5a 9b 8 c 7d 6 2 已知數列的前n項和為sn，且sn n2 n，數列滿足bn n n tn是數列的前n項和，則t9等於 ab.cd.3 數列的前n項和為sn，若a1 1，an 1 3sn n 1 則a6...
數列的綜合應用
精選三年經典試題 數學 2014屆高三全程必備 高頻題型全掌握系列 1.衡水中學模擬 設不等式組所表示的平面區域為，記內的格點 格點即橫座標和縱座標均為整數的點 的個數為 1 求 的值及的表示式 2 設，為的前項和，求.解 1 由已知易於得到，當時，可取格點個 當時,可取格點個 2 由題意知 得 2...
數列綜合應用
自 主 排 查 1 公式法與分組求和法 1 公式法 直接利用等差數列 等比數列的前n項和公式求和。等差數列的前n項和公式 sn na1 d。等比數列的前n項和公式 sn 2 分組求和法 若乙個數列是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和後相加減。2 倒序相加法...