數列綜合應用

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1．公式法與分組求和法 (1)公式法:直接利用等差數列、等比數列的前n項和公式求和。

①等差數列的前n項和公式：sn＝＝na1＋d。

②等比數列的前n項和公式： sn＝

(2)分組求和法

若乙個數列是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和後相加減。

2．倒序相加法與並項求和法 (1)倒序相加法

如果乙個數列的前n項中與首末兩端等「距離」的兩項的和相等或等於同乙個常數，那麼求這個數列的前n項和可用倒序相加法，如等差數列的前n項和公式即是用此法推導的。

(2)併項求和法

在乙個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為併項求和。

形如an＝(－1)nf(n)型別，可採用兩項合併求解。

例如，sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050。

3．裂項相消法

(1)把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和。

(2)常見的裂項技巧: ①＝－。②＝。

③＝。④＝－。

4．錯位相減法

如果乙個數列的各項是由乙個等差數列和乙個等比數列的對應項之積構成的，那麼這個數列的前n項和即可用此法來求，如等比數列的前n項和公式就是用此法推導的。

微點提醒 1．使用裂項相消法求和時，要注意正負項相消時，消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前後對稱的特點。

2．在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為引數，應分公比等於1和不等於1兩種情況求解。

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一、走進教材

1．(必修5p47b組t4改編)數列的前n項和為sn，若an＝，則s5等於(　　)

a．1 b. c. d

2．(必修5p61a組t4(3)改編)1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1x≠0且x≠1)。

二、雙基查驗

1．若數列的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數列的前n項和為(　　)

a．2n＋n2－1 b．2n＋1＋n2－1 c．2n＋1＋n2－2 d．2n＋n－2

2．若數列的通項公式是an＝(－1)n(3n－2)，則a1＋a2＋…＋a10＝(　　)

a．15 b．12 c．－12 d．－15

3．數列的通項公式是an＝，前n項和為9，則n＝(　　)

a．9　　b．99 c．10 d．100

4．已知數列的前n項和為sn且an＝n·2n，則sn＝_____。

5．數列滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈n*)，則數列的前10項和為________。

【典例1】　已知數列的通項公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n項和sn。

反思歸納　1.若an＝bn±cn，且，為等差或等比數列，可採用分組轉化法求的前n項和。

2．通項公式為an＝的數列，其中數列，是等比或等差數列，可採用分組轉化法求和。

【變式訓練】　(2016·北京高考)已知是等差數列，是等比數列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4。

(1)求的通項公式； (2)設cn＝an＋bn，求數列的前n項和。

【典例2】　(2016·山東高考)已知數列的前n項和sn＝3n2＋8n，是等差數列，且an＝bn＋bn＋1。(1)求數列的通項公式；

反思歸納選擇數列求和方法的依據是數列的通項公式，如該題第(2)問中通過化簡數列的通項公式可知，其可以寫成乙個等差數列與等比數列的通項公式的乘積形式，故應採用錯位相減法求和。

【變式訓練】　(2016·桐鄉模擬)已知公比q不為1的等比數列的首項a1＝，前n項和為sn，且a4＋s4，a5＋s5，a6＋s6成等差數列。(1)求數列的通項公式；

(2)對n∈n*，在an與an＋1之間插入n個數，使這n＋2個數成等差數列，記插入的這n個數的和為bn，求數列的前n項和tn。

【典例3】　(2017·開封模擬)設各項均為正數的數列的前n項和為sn，且sn滿足s－(n2＋n－3)·sn－3(n2＋n)＝0，n∈n*。(1)求a1的值；(2)求數列的通項公式；

(3)證明：對一切正整數n，有＋＋…＋<。

(3)＝。

(4)＝(－)。(5)loga＝loga(n＋1)－logan。

【變式訓練】　我國古代數學名著《九章算術》中，有已知長方形面積求一邊的演算法，其方法的前兩步為：第一步：構造數列1，，，，…，。①

第二步：將數列①的各項乘以n，得數列(記為)a1，a2，a3，…，an。

則a1a2＋a2a3＋…＋an－1an等於(　　)

【典例4】　(2016·溫州十校聯考)已知二次函式f(x)＝ax2＋bx的圖象過點(－4n,0)，且f′(0)＝2n，n∈n*，數列滿足＝f′，且a1＝4。

(1)求數列的通項公式；(2)記bn＝，求數列的前n項和tn。

【變式訓練】　(2016·湖南四校聯考)已知數列與滿足an＋1－an＝2(bn＋1－bn)(n∈n*)。

(1)若a1＝1，bn＝3n＋5，求數列的通項公式；

(2)若a1＝6，bn＝2n(n∈n*)且λan>2n＋n＋2λ對一切n∈n*恆成立，求實數λ的取值範圍。

1．設等差數列和等比數列首項都是1，公差與公比都是2，則ab1＋ab2＋ab3＋ab4＋ab5等於(　　) a．54 b．56 c．58 d．57

2．已知數列的前n項和sn＝n2－6n，則的前n項和tn＝(　　)

a．6n－n2 b．n2－6n＋18 c. d.　3．已知等比數列的各項都為正數，且當n≥3時，a4a2n－4＝102n，則數列lga1,2lga2,22lga3,23lga4，…，2n－1lgan，…的前n項和sn等於(　　)

a．n·2n b．(n－1)·2n－1－1 c．(n－1)·2n＋1 d．2n＋1

4．(2017·鄭州模擬)整數數列滿足an＋2＝an＋1－an(n∈n*)，若此數列的前800項的和是2 013，前813項的和是2 000，則其前2 015項的和為

5．在等比數列(n∈n*)中，a1>1，公比q>0，設bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0。 (1)求的通項an；(2)若cn＝，求的前n項和sn。

數列的新定義問題

先定義乙個(一類)新數列，，這類問題形式新穎，常給人耳目一新的感覺。對於這類問題，我們應先弄清問題的本質，然後根據等差、等比數列的性質以及解決數列問題時常用的方法即可解決。

【典例】　設sn為數列的前n項和，若(n∈n*)是非零常數，則稱該數列為「和等比數列」。若數列是首項為2，公差為d(d≠0)的等差數列，且數列是「和等比數列」，則d

【變式訓練】　(1)(2016·福建六校聯考)對於數列，定義數列為數列的「差數列」，若a1＝2，的「差數列」的通項公式為2n，則數列的前2 016項和s2 016a．22 017－2　 b．22 017－1 c．22 017 d．22 017＋1

(2)對於數列，定義hn＝為的「優值」，現在已知某數列的「優值」hn＝2n＋1，記數列的前n項和為sn，若sn≤s5對任意的n∈n*恆成立，則實數k的取值範圍為