數列的綜合應用
1.已知a，b，c成等比數列，a，m，b和b，n，c分別成兩個等差數列，則＋等於 ( )
a．4 b．3c．2d．1
解析：由題意得b2＝ac,2m＝a＋b,2n＝b＋c，則＋＝＝＝＝2.
答案：c
2．數列是各項均為正數的等比數列，是等差數列，且a6＝b7，則有
a．a3＋a9≤b4＋b10
b．a3＋a9≥b4＋b10
c．a3＋a9≠b4＋b10
d．a3＋a9與b4＋b10的大小不確定
解析：∵a3＋a9≥2＝2＝2a6＝2b7＝b4＋b10，當且僅當a3＝a9時，不等式取等號．
答案：b
3．(文)已知等差數列的前n項和為sn且滿足a2＝3，s6＝36.
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列是等比數列且滿足b1＋b2＝3，b4＋b5＝24.設數列的前n項和為tn，求tn.
解：(1)∵數列是等差數列，
∴s6＝3(a1＋a6)＝3(a2＋a5)＝36.
∵a2＝3，∴a5＝9，∴3d＝a5－a2＝6，∴d＝2，
又∵a1＝a2－d＝1，∴an＝2n－1.
(2)由等比數列滿足b1＋b2＝3，b4＋b5＝24，
得＝q3＝8，∴q＝2，
∵b1＋b2＝3，∴b1＋b1q＝3，∴b1＝1，bn＝2n－1，
∴an·bn＝(2n－1)·2n－1.
∴tn＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)·2n－2＋(2n－1)·2n－1，
則2tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，
兩式相減得(1－2)tn＝1×1＋2×2＋2×22＋…＋2·2n－2＋2·2n－1－(2n－1)·2n，即
－tn＝1＋2(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n
＝1＋2(2n－2)－(2n－1)·2n＝(3－2n)·2n－3，
∴tn＝(2n－3)·2n＋3.
(理)已知數列的前n項和為sn，a1＝1，數列是公差為2的等差數列．
(1)求a2，a3；
(2)證明：數列為等比數列；
(3)求數列的前n項和tn.
解：(1)∵數列是公差為2的等差數列，
∴(an＋1＋sn＋1)－(an＋sn)＝2，即an＋1＝.
∵a1＝1，∴a2＝，a3＝.
(2)證明：由題意得a1－2＝－1，
又∵＝＝，
∴是首項為－1，公比為的等比數列．
(3)由(2)得an－2＝－()n－1，∴nan＝2n－n·()n－1，
∴tn＝(2－1)＋(4－2·)＋＋…＋，
＝(2＋4＋6＋…＋2n)－，
設an＝1＋2·＋3·()2＋…＋n·()n－1
∴an＝＋2·()2＋3·()3＋…＋n·()n
①－②得an＝1＋＋()2＋…＋()n－1－n·()n，
∴an＝－n·()n，
∴an＝4－(n＋2)·()n－1，
∴tn＝＋(n＋2)·()n－1－4＝(n＋2)·()n－1＋n(n＋1)－4.
4.氣象學院用3.2萬元買了一台天文觀測儀，已知這台觀測儀從啟用的第一天起連續使用，第n天的維修保養費為元(n∈n＋)，使用它直至報廢最合算(所謂報廢最合算是指使用的這台儀器的平均耗資最少)為止，一共使用了
a．600天 b．800天 c．1 000天d．1 200天
解析：由第n天的維修保養費為元(n∈n＋)，可以得出觀測儀的整個耗資費用，由平均費用最少而求得最小值成立時相應n的值．
設一共使用了n天，則使用n天的平均耗資為
＝＋＋4.95，當且僅當＝時，取得最小值，此時n＝800.
答案：b
5．(2010·邯鄲模擬)若數列滿足－＝d(n∈n*，d為常數)，則稱數列為調和數列．已知數列{}為調和數列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，則x5＋x16
解析：由題意，若為調和數列，則{}為等差數列，所以{}為調和數列，則可得數列為等差數列，由等差數列的性質可知，x5＋x16＝x1＋x20＝x2＋x19＝…＝＝20.
答案：20
6．數列中，a1＝6，且an－an－1＝＋n＋1(n∈n*，n≥2)，則這個數列的通項an
解析：由已知等式得nan＝(n＋1)an－1＋n(n＋1)(n∈n*，n≥2)，則－＝1，所以數列{}是以＝3為首項，1為公差的等差數列，即＝n＋2，則an＝(n＋1)(n＋2)．n＝1時，此式也成立．
答案：(n＋1)(n＋2)
7.有一種細菌和一種病毒，每個細菌在每秒鐘殺死乙個病毒的同時將自身**為2個，現在有乙個這樣的細菌和100個這樣的病毒，問細菌將病毒全部殺死至少需要( )
a．6秒鐘 b．7秒鐘 c．8秒鐘 d．9秒鐘
解析：設至少需要n秒鐘，則1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，
∴≥100，∴n≥7.
答案：b
8．某科研單位欲拿出一定的經費獎勵科研人員，第1名得全部資金的一半多一萬元，第二名得剩下的一半多一萬元，以名次類推都得到剩下的一半多一萬元，到第10名恰好資金分完，則此科研單位共拿出萬元資金進行獎勵．
解析：設第10名到第1名得的獎金數分別是a1，a2，…，a10，則an＝sn＋1，則a1＝2，an－an－1＝an，即an＝2an－1，因此每人得的獎金額組成以2為首項，以2為公比的等比數列，所以s10＝＝2046.
答案：2046
9．在如圖所示的**中，如果每格填上乙個數後，
每一行成等差數列，每一列成等比數列，那麼
x＋y＋z的值為
a．1b．2
c．3d．4
解析：由題知**中第三列成首項為4，公比為的等比數列，故有x＝1.根據每行成等差數列得第四列前兩個數字依次為5，，故其公比為，所以y＝5×()3＝，同理z＝6×()4＝，故x＋y＋z＝2.
答案：b
10．已知數列的前n項和為sn，對任意n∈n*都有sn＝an－，若1解析：∵sn＝an－，∴s1＝a1－＝a1，a1＝－>1)，即an＝(an－)－(an－1－)＝an－an－1，整理得：＝－2，∴是首項為－1，公比為－2的等比數列，sk＝＝，∵1答案：
411．(文)在數列中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈n)．
(1)試判斷數列{}是否為等差數列；
(2)設滿足bn＝，求數列的前n項為sn；
(3)若λan＋≥λ，對任意n≥2的整數恆成立，求實數λ的取值範圍．
解：(1)∵a1≠0，∴an≠0，∴由已知可得－＝3(n≥2)，
故數列{}是等差數列．
(2)由(1)的結論可得bn＝1＋(n－1)×3，所以bn＝3n－2，
∴sn＝＝.
(3)將an＝＝代入λan＋≥λ並整理得λ(1－)≤3n＋1，
∴λ≤，原命題等價於該式對任意n≥2的整數恆成立．
設cn＝，則cn＋1－cn＝>0，故cn＋1>cn，
∴cn的最小值為c2＝，
∴λ的取值範圍是(－∞，]．
(理)已知數列的前n項和為sn，點(n，)在直線y＝x＋上．數列滿足bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈n*)，b3＝11，且其前9項和為153.
(1)求數列，的通項公式；
(2)設cn＝，數列的前n項和為tn，求使不等式tn＞對一切n∈n*都成立的最大正整數k的值．
解：(1)由已知得＝n＋，
∴sn＝n2＋n.
當n≥2時，
an＝sn－sn－1
＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝n＋5；
當n＝1時，a1＝s1＝6也符合上式．
∴an＝n＋5.
由bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈n*)知是等差數列，
由的前9項和為153，可得＝9b5＝153，
得b5＝17，又b3＝11，
∴的公差d＝＝3，b3＝b1＋2d，
∴b1＝5，
∴bn＝3n＋2.
(2)cn＝＝(－)，
∴tn＝(1－＋－＋…＋－)
＝(1－)．
∵n增大，tn增大，
∴是遞增數列．
∴tn≥t1＝.
tn＞對一切n∈n*都成立，只要t1＝＞，
∴k＜19，則kmax＝18.
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