一、本章知識結構：
二、重點知識回顧
１．數列的概念及表示方法
（１）定義：按照一定順序排列著的一列數．
（２）表示方法：列表法、解析法（通項公式法和遞推公式法）、圖象法．
（３）分類：按項數有限還是無限分為有窮數列和無窮數列；按項與項之間的大小關係可分為單調數列、擺動數列和常數列．
（４）與的關係：．
2．等差數列和等比數列的比較
（１）定義：從第2項起每一項與它前一項的差等於同一常數的數列叫等差數列；從第2項起每一項與它前一項的比等於同一常數（不為0）的數列叫做等比數列．
（２）遞推公式：．
（３）通項公式：．
（４）性質
等差數列的主要性質：
①單調性：時為遞增數列，時為遞減數列，時為常數列．
②若，則．特別地，當時，有．
③．④成等差數列．
等比數列的主要性質：
①單調性：當或時，為遞增數列；當，或時，為遞減數列；當時，為擺動數列；當時，為常數列．
②若，則．特別地，若，則．
③．④，…，當時為等比數列；當時，若為偶數，不是等比數列．若為奇數，是公比為的等比數列．
三、考點剖析
考點一：等差、等比數列的概念與性質
例1. 已知數列
（1）求數列的通項公式； （2）求數列
解：（1）當；、
當，、 （2）令
當；當綜上，點評：本題考查了數列的前n項與數列的通項公式之間的關係，特別要注意n＝１時情況，在解題時經常會忘記。第二問要分情況討論，體現了分類討論的數學思想．
例２、已知等差數列的前n項和為，且，. 數列是等比數列，（其中）.
（i）求數列和的通項公式；（ii）記.
解：（i）公差為d，
則. 設等比數列的公比為，
.（ii）
作差：.
點評：本題考查了等差數列與等比數列的基本知識，第二問，求前n項和的解法，要抓住它的結特徵，乙個等差數列與乙個等比數列之積，乘以２後變成另外的乙個式子，體現了數學的轉化思想。
考點二：求數列的通項與求和
例3.將全體正整數排成乙個三角形數陣：
按照以上排列的規律，第行（）從左向右的第3個數為
解：前n－1 行共有正整數1＋2＋…＋（n－1）個，即個，因此第n 行第3 個數是全體正整數中第＋3個，即為．
點評：本小題考查歸納推理和等差數列求和公式，難點在於求出數列的通項，解決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力。
例4.圖（1）、（2）、（3）、（4）分別包含1個、5個、13個、25個第二十九屆北京奧運會吉祥物「福娃迎迎」，按同樣的方式構造圖形，設第個圖形包含個「福娃迎迎」，則 ；＿＿＿＿
解：第1個圖個數：1
第2個圖個數：1+3+1
第3個圖個數：1+3+5+3+1
第4個圖個數：1+3+5+7+5+3+1
第5個圖個數：1+3+5+7+9+7+5+3+1=，
所以，f（５）＝４１
f(2)-f(1)=４ ，f(３)-f(２)=８，f(４)-f(３)=１２，f(５)-f(４)=１６
點評：由特殊到一般，考查邏輯歸納能力，分析問題和解決問題的能力，本題的第二問是乙個遞推關係式，有時候求數列的通項公式，可以轉化遞推公式來求解，體現了轉化與化歸的數學思想。
考點三：數列與不等式的聯絡
例5.已知等比數列的首項為，公比滿足。又已知，，成等差數列。
（1）求數列的通項
（2）令，求證：對於任意，都有
（1）解
（2）證明：∵ ，
∴點評：把複雜的問題轉化成清晰的問題是數學中的重要思想，本題中的第（２）問，採用裂項相消法法，求出數列之和，由n的範圍證出不等式。
例６、 在數列，中，a1=2，b1=4，且成等差數列，成等比數列（）
（ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測，的通項公式，並證明你的結論；
（ⅱ）證明：．
解：（ⅰ）由條件得由此可得
．猜測．
用數學歸納法證明：
①當n=1時，由上可得結論成立．
②假設當n=k時，結論成立，即
，那麼當n=k+1時，
．所以當n=k+1時，結論也成立．
由①②，可知對一切正整數都成立．
（ⅱ）．
n≥2時，由（ⅰ）知．
故綜上，原不等式成立．
點評：本小題主要考查等差數列，等比數列，數學歸納法，不等式等基礎知識，考查綜合運用數學知識進行歸納、總結、推理、論證等能力．
例７. 設數列滿足為實數
（ⅰ）證明：對任意成立的充分必要條件是；
（ⅱ）設，證明：;
（ⅲ）設，證明：
解： (1) 必要性 ： ，
又 ，即
充分性 ：設 ，對用數學歸納法證明
當時，.假設
則，且，由數學歸納法知對所有成立
(2) 設，當時，，結論成立
當時，由（1）知，所以且
(3) 設，當時，，結論成立
當時，由（2）知
點評：本題是數列、充要條件、數學歸納法的知識交匯題，屬於難題，複習時應引起注意，加強訓練。
考點四：數列與函式、概率等的聯絡
例８. 已知函式(x)=x2+2x，設是正數組成的數列，前n項和為sn，其中a1=3.若點(n∈n*)在函式y=f(x)的圖象上。
求證：點（n,sn）也在y=f(x)的圖象上。
證明： (x)=x2+2x
∵ 點在函式y=f(x)的圖象上,
∴ 即
又∴ ，，即是以2為公差的等差數列
∴,又∵ (n)=n2+2n,
∴ sn= (n)，即點（n,sn）在y=f(x)的圖象上。
點評：本小題主要考查函式、等差數列等基本知識，考查分類與整合、轉化與化歸等數學思想方法，考查分析問題和解決問題的能力.
例９． 將一骰子連續拋擲三次，它落地時向上的點數依次成等差數列的概率為（ ）
解：一骰子連續拋擲三次得到的數列共有個，其中為等差數列有三類：（1）公差為0的有6個；（2）公差為1或-1的有8個；（3）公差為2或-2的有4個，共有18個，
成等差數列的概率為，選b
點評：本題是以數列和概率的背景出現，題型新穎而別開生面，有採取分類討論，分類時要做到不遺漏，不重複。
考點五：數列與程式框圖的聯絡
例10．根據如圖所示的程式框圖，將輸出的x、y值依次分別記為；
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）寫出y1，y2，y3，y4，由此猜想出數列；
的乙個通項公式yn，並證明你的結論;
（ⅲ）求．
解：（ⅰ）由框圖，知數列
∴ （ⅱ）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80.
由此，猜想
證明：由框圖，知數列中，yn+1=3yn+2
∴∴∴數列是以3為首項，3為公比的等比數列。
∴+1=3·3n－1=3n
∴=3n－1（）
（ⅲ）zn=
=1×（3－1）+3×（32－1）+…+（2n－1）（3n－1）
=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n－[1+3+…+（2n－1）]
記sn=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n
則3sn=1×32+3×33+…+（2n－1）×3n+1 ②
①－②，得－2sn=3+2·32+2·33+…+2·3n－（2n－1）·3n+1
=2（3+32+…+3n）－3－（2n－1）·3n+1
=2×=
又1+3+…+（2n－1）=n2
∴.點評：程式框圖與數列的聯絡是新課標背景下的新鮮事物，因為程式框圖中迴圈，與數列的各項一一對應，所以，這方面的內容是命題的新方向，應引起重視。
四、方法總結與2023年高考**
（一）方法總結
1. 求數列的通項通常有兩種題型：一是根據所給的一列數，通過觀察求通項；一是根據遞推關係式求通項。
2. 數列中的不等式問題是高考的難點熱點問題，對不等式的證明有比較法、放縮，放縮通常有化歸等比數列和可裂項的形式。
3. 數列是特殊的函式，而函式又是高中數學的一條主線，所以數列這一部分是容易命制多個知識點交融的題，這應是命題的乙個方向。
（二）2023年高考**
1. 數列中與的關係一直是高考的熱點，求數列的通項公式是最為常見的題目，要切實注意與的關係.關於遞推公式，在《考試說明》中的考試要求是：
「了解遞推公式是給出數列的一種方法，並能根據遞推公式寫出數列的前幾項」。但實際上，從近兩年各地高考試題來看，是加大了對「遞推公式」的考查。
2. 探索性問題在數列中考查較多，試題沒有給出結論，需要考生猜出或自己找出結論，然後給以證明.探索性問題對分析問題解決問題的能力有較高的要求.
3. 等差、等比數列的基本知識必考.這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題。
4. 求和問題也是常見的試題，等差數列、等比數列及可以轉化為等差、等比數列求和問題應掌握，還應該掌握一些特殊數列的求和.
5. 將數列應用題轉化為等差、等比數列問題也是高考中的重點和熱點，從本章在高考中所在的分值來看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.
6. 有關數列與函式、數列與不等式、數列與概率等問題既是考查的重點，也是考查的難點。今後在這方面還會體現的更突出。
７、數列與程式框圖的綜合題應引起高度重視。
五、複習建議
在進行數列二輪複習時，建議可以具體從以下幾個方面著手:
1．運用基本量思想(方程思想)解決有關問題；
2．注意等差、等比數列的性質的靈活運用；
3．注意等差、等比數列的前n項和的特徵在解題中的應用；
4．注意深刻理解等差數列與等比數列的定義及其等價形式；
5．根據遞推公式，通過尋找規律，運用歸納思想，寫出數列中的某一項或通項，主要需注意從等差、等比、週期等方面進行歸納；
6．掌握數列通項an與前n項和sn 之間的關係；
7．根據遞推關係，運用化歸思想，將其轉化為常見數列；
8．掌握一些數列求和的方法
(1)分解成特殊數列的和
2019屆高三數學專題複習教案 不等式
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