1.判斷具體函式單調性的方法
1.1 定義法
一般地，設為定義在上的函式。若對任何、，當時，總有
(1)，則稱為上的增函式，特別當成立嚴格不等時，稱為上的嚴格增函式；
(2),則稱為上的減函式，特別當成立嚴格不等式
時，稱為上的嚴格減函式。
利用定義來證明函式在給定區間上的單調性的一般步驟：
（1）設元，任取,且；
（2）作差；
（3）變形（普遍是因式分解和配方）；
（4）斷號（即判斷差與0的大小）；
（5）定論（即指出函式在給定的區間d上的單調性）。
例1.用定義證明在上是減函式。
證明：設,，且，則
由於，則，即，所以在上是減函式。
例2.用定義證明函式在上的單調性。
證明：設、，且，則
，又所以，，
當、時，此時函式為減函式；
當、時，此時函式為增函式。
綜上函式在區間內為減函式；在區間內為增函式。
此題函式是一種特殊函式（對號函式），用定義法證明時通常需要進行因式分解，由於與0的大小關係不是明確的，因此要分段討論。
用定義法判定函式單調性比較適用於那種對於定義域內任意兩個數當時，容易得出與大小關係的函式。在解決問題時，定義法是最直接的方法，也是我們首先考慮的方法，雖說這種方法思路比較清晰，但通常過程比較繁瑣。
1.2 函式性質法
函式性質法是用單調函式的性質來判斷函式單調性的方法。函式性質法通常與我們常見的簡單函式的單調性結合起來使用。對於一些常見的簡單函式的單調性如下表：
一些常用的關於函式單調的性質可總結如下幾個結論：
⑴．與+單調性相同。（為常數）
⑵．當時，與具有相同的單調性；當時，與具有相反的單調性。
⑶．當恆不等於零時，與具有相反的單調性。
⑷．當、在上都是增（減）函式時，則＋在上是增（減）函式。
⑸．當、在上都是增（減）函式且兩者都恆大於0時， 在上是增（減）函式；當、在上都是增（減）函式且兩者都恆小於0時， 在上是減（增）函式。
⑹．設,為嚴格增（減）函式，則必有反函式，且在其定義域上也是嚴格增（減）函式。
例3.判斷的單調性。
解:函式的定義域為，由簡單函式的單調性知在此定義域內均為增函式，因為,由性質⑸可得也是增函式；由單調函式的性質⑷知為增函式，再由性質⑴知函式+5在為單調遞增函式。
例4.設函式，判斷在其定義域上的單調性。
解:函式的定義域為.
先判斷在內的單調性，由題可把轉化為，又故由性質⑶可得為減函式；由性質⑵可得為減函式；再由性質⑴可得在內是減函式。
同理可判斷在內也是減函式。故函式在內是減函式。
函式性質法只能借助於我們熟悉的單調函式去判斷一些函式的單調性，因此首先把函式等價地轉化成我們熟悉的單調函式的四則混合運算的形式，然後利用函式單調性的性質去判斷，但有些函式不能化成簡單單調函式四則混合運算形式就不能採用這種方法。
1.3 影象法
用函式影象來判斷函式單調性的方法叫影象法。根據單調函式的影象特徵，若函式的影象在區間上從左往右逐漸上公升則函式在區間上是增函式；若函式影象在區間上從左往右逐漸下降則函式在區間上是減函式。、
例5. 如圖1-1是定義在閉區間[-5,5]上的函式的影象，試判斷其單調性。
解：由影象可知：函式的單調區間有[-5,-2），[-2,1），[1,3），[3,5）.
其中函式在區間[-5,-2），[1,3）上的影象是從左往右逐漸下降的，則函式在區間[-5,-2），[1,3）為減函式；函式在區間[-2,1），[3,5]上的影象是從往右逐漸上公升的，則函式在區間[-2,1），[3,5]上是增函式
例6.利用函式影象判斷函式；；在[-3,3]上的單調性。
分析：觀察三個函式，易見，作圖一般步驟為列表、描點、作圖。首先作出和的影象，再利用物理學上波的疊加就可以大致作出的影象，最後利用影象判斷函式的單調性。
解:作影象1-2如下所示：由以上函式影象得知函式在閉區間[-3,3]上是單調增函式；在閉區間[-3,3]上是單調增函式；利用物理上波的疊加可以直接大致作出在閉區間[-3,3]上影象，即在閉區間[-3,3]上是單調增函式。
事實上本題中的三個函式也可以直接用函式性質法判斷其單調性。
用函式影象法判斷函式單調性比較直觀，函式影象能夠形象的表示出隨著自變數的增加，相應的函式值的變化趨勢，但作圖通常較煩。對於較容易作出影象的函式用影象法比較簡單直觀，可以類似物理上波的疊加來大致畫出影象。而對於不易作圖的函式就不太適用了。
但如果我們借助於相關的數學軟體去作函式的影象，那麼用影象法判斷函式單調性是非常簡單方便的。
1.4 復合函式單調性判斷法
定理1：若函式在內單調，在內單調，且集合
（1）若是增函式，是增（減）函式，則是增（減）函式。（2）若是減函式，是增（減）函式，則是減（增）函式。
歸納此定理，可得口訣：同則增，異則減（同增異減）
復合函式單調性的四種情形可列表如下：
顯然對於大於2次的復合函式此法也成立。
推論：若函式是k(k≥2),)個單調函式復合而成其中有個減函式：
1 ；2 。
判斷復合函式的單調性的一般步驟：
⑴合理地分解成兩個基本初等函式；
⑵分別解出兩個基本初等函式的定義域；
⑶分別確定單調區間；
⑷若兩個基本初等函式在對應區間上的單調性是同時單調遞增或同單調遞減，則為增函式，若為一增一減，則為減函式（同增異減）；
⑸求出相應區間的交集，既是復合函式的單調區間。
以上步驟可以用八個字簡記「一分」，「二求」，「三定」，「四交」。利用「八字」求法可以解決一些復合函式的單調性問題。
例7.求（且）的單調區間。
解：由題可得函式是由外函式和內函式符合而成。由題知函式的定義域是。內函式在內為增函式，在內為減函式。
①若，外函式為增函式，由同增異減法則，故函式在上是增函式；函式在上是減函式。
②若，外函式為減函式，由同增異減法則，故函式在上是減函式；函式在上是增函式。
2．判斷抽象函式單調性的方法
如果乙個函式沒有給出具體解析式，那麼這樣的的函式叫做抽象函式。抽象函式沒有具體的解析式，需充分提取題目條件給出的資訊。
2.1 定義法
通過作差(或者作商)，根據題目提出的資訊進行變形，然後與0（或者1）比較大小關係來判斷其函式單調性。通常有以下幾種方法：
2.1.1 湊差法
根據單調函式的定義，設法從題目中「湊出」「」的形式，然後比較與0的大小關係。
例11.已知函式對任意實數、均有，且當時，
，試討論函式的單調性。
解：由題得，
令，且，
又由題意當時， ，所以函式為增函式。
2.1.2添項法
弄清題目中的結構特點，採用加減添項或乘除添項，以達到能判斷「」與0大小關係的目的。
例12.（同例11）
解:任取，則，
由題意函式對任意實數、均有，且當時，
，所以函式為增函式。
2.1.3 增量法
由單調性的定義出發，任取設,然後聯絡題目提取的資訊給出解答。
例13.（同例11）
解：任取設由題意函式對任意實數、均有，
，又由題當時，
，所以函式為增函式。
2.1.4 放縮法
利用放縮法，判斷與的大小關係，從而得在其定義域內的單調性。
例14.已知函式的定義域為（0，+∞），對任意正實數、均有
，且當時，判斷函式的單調性.
解： 設，則又當時，故
再由中令，得
當時，，由易知此時，故恆成立。
因此即在（0，+∞）上為單調遞減函式。
對於抽象函式，由於抽象函式沒有具體的解析式，因此需充分提取題目條件給出的資訊,觀察結構特點。用定義法判定抽象函式單調性比較適用於那種對於定義域內任意兩個數當時，容易得出-與0大小關係的函式。定義法是最直接的方法，思路也比較清晰，在解題中靈活選擇湊差法、添項法、增量法、放縮法等恰當的方法，可使解題過程更加簡單方便。
2.2 列表法
對於比較複雜的復合函式，除了用復合函式單調性判斷法外，還可以用列表，將各個函式的單調性都列出來，然後再判斷復合函式單調性。
例15.已知在r上是偶函式，且在[0,+）上是增函式，求是
減函式的區間
解：列表如下
由表知是減函式的區間，。
利用列表法比較直觀，精確、易懂、量與量之間的關係又很明確。列表法在實際生活當中應用也是比較廣泛的。但是列表法也有其侷限性：
在於適用題型狹窄，求解範圍小，大部分是跟探尋規律或反映規律有關。
函式單調性是函式的乙個非常重要的性質，本文從單調性的定義入手，總結了判斷單調性的常見方法。本文把函式分為具體函式和抽象函式兩大類進行討論，對於每類函式都給出了判定單調性的若干方法。對於具體的函式，我們可以用多種方法去判斷其單調性，特別地導數法是普遍適用的，若借助於計算機，那麼影象法也是最簡單最直觀的。
對於抽象函式的單調性問題，我們給出了用定義法及列表法。這種題型不僅抽象，而且綜合性較強，對學生的思維能力有很高的要求，學生往往很難發現數學符號與數學語言之間的內在關係。因此在判斷函式單調性的問題上，應靈活選擇恰當的方法，從而使解題過程最簡單。
單調性判定 證明
2 設x10，f x1 f x2 f x 在 0 上為減函式 總結用單調性的定義證明函式的單調性的步驟為 第一步 取值 即設x1 x2是該區間內的任意兩個值，且x1第二步 作差變形 即作差f x1 f x2 並通過因式分解 配方 有理化等方法，向有利於判斷差的符號的方向變形 第三步 定號 確定差f ...
函式的單調性
知識點 理解增函式 減函式 單調區間 單調性等概念，掌握增 減 函式的證明和判別,學會運用函式圖象理解和研究函式的性質。例題 1.指出函式y 3x 2 y x2 4x 3 y 的單調區間及單調性，並給出證明。2.求證函式在區間和上都是單調遞增函式 3.已知定義在區間 0，上的函式f x 滿足f f ...
函式的單調性
題型一 利用函式圖象 1 在區間 0，上不是增函式的函式是 a y 2x 1 b y 3 1 c yd y 2 x 1 2.下列函式中,在區間上為增函式的是 a b c d 3 函式的增區間是 a b c d 4 在上是減函式，則a的取值範圍是 a b c d 5 函式f x 4 mx 5在區間 2...