(2)設x10，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－∞，0)上為減函式．
總結用單調性的定義證明函式的單調性的步驟為：
第一步：取值．即設x1、x2是該區間內的任意兩個值，且x1第二步：作差變形．即作差f(x1)－f(x2)，並通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利於判斷差的符號的方向變形；
第三步：定號．確定差f(x1)－f(x2)的符號．當符號不確定時，分區間進行討論；
第四步：下結論，根據符號作出結論．
即「取值——作差變形——定號——下結論」這四個步驟．
3．對增函式的判斷，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，也可以用乙個不等式來替代：
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0或＞0.
對減函式的判斷，當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，相應地也可用乙個不等式來替代：
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0或＜0.
4．熟悉常見的一些單調性結論
(1)一次函式y＝kx＋b (k≠0)，當k>0時單調遞增，當k<0時單調遞減．
(2)二次函式y＝ax2＋bx＋c (a≠0)，當a>0時，在上單調遞減，在上單調遞增，a<0時相反．
(3)y＝(k≠0)，當k>0時，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都單調遞減．當k<0時，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都單調遞增．
(4)若f(x)，g(x)都是增函式，h(x)是減函式，則①在定義域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)單調遞增，f(x)－h(x)單調遞增．②－f(x)單調遞減，③單調遞減(f(x)≠0)．
5．對於函式值恆正(或恆負)的函式f(x)，證明單調性時，也可以作商與1比較．
2、(1)證明f(x)＝－x2＋4x在(－∞，2]上為增函式．(2)證明f(x)＝在上為增函式．
(3)證明函式y＝在(－1，＋∞)上為增函式．
*[例4] 1、討論函式f(x)＝在x∈(－1,1)上的單調性，其中a為非零常數．
2、畫出下列函式的圖象，並指出它們的單調區間：
(1)y＝|x|－1； (2)y＝|x2－1|.
課堂練習練習
1．已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函式，則a的取值範圍是( )
abcd．[，＋∞)
二、填空題
5．寫出下列函式的單調區間．
(1)y＝|x|－12)y＝－x2＋ax
(3)y＝|2x－14)y
(5)y6)y
課後練習
一、選擇題
1．下列函式中，在區間(－∞，0)上是減函式的是( )
a．y＝1－x2 b．y＝x2＋x c．y＝－ d．y＝
2．已知f(x)是r上的減函式，則滿足f>f(1)的x的取值範圍是( )
a．(－∞，1) b．(1，＋∞)c．(－∞，0)∪(0,1) d．(－∞，0)∪(1，＋∞)
3．下列函式中，在區間(0,2)上為增函式的是( )
a．y＝3－x b．y＝x2＋1 c．yd．y＝－|x|
4．若y＝f(x)是r上的減函式，對於x1＜0，x2＞0，則( )
a．f(－x1)＞f(－x2) b．f(－x1)＜f(－x2) c．f(－x1)＝f(－x2) d．無法確定
5．函式f(x)＝的單調增區間為( )
a．(－∞，3] b．[3，＋∞) c．[－1,3d．[3,7]
6．函式y＝1－( )
a．在(－1，＋∞)內單調遞增 b．在(－1，＋∞)內單調遞減
c．在(1，＋∞)內單調遞增 d．在(1，＋∞)內單調遞減
7．已知函式y＝f(x)的定義域是數集a，若對於任意a，b∈a，當aa．有且只有乙個 b．乙個都沒有 c．至多有乙個 d．可能會有兩個或兩個以上
8．如果函式f(x)＝x2＋bx＋c對任意實數t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，則( )
a．f(2)9．(09·天津文)設函式f(x)＝則不等式f(x)＞f(1)的解集是( )
a．(－3,1)∪(3，＋∞) b．(－3,1)∪(2，＋∞) c．(－1,1)∪(3，＋∞) d．(－∞，－3)∪(1,3)
10．設(c，d)、(a，b)都是函式y＝f(x)的單調減區間，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1a．f(x1)f(x2) c．f(x1)＝f(x2) d．不能確定
二、填空題
11．考察單調性，填增或減
函式y＝在其定義域上為________函式； 函式y＝在其定義域上為________函式．
12．若f(x)＝，則f(x)的單調增區間是________，單調減區間是________．
13．已知函式f(x)＝4x2－mx＋1，在(－∞，－2)上遞減，在[－2，＋∞)上遞增，則f(1
三、解答題
14．設f(x)在定義域內是減函式，且f(x)＞0，在其定義域內判斷下列函式的單調性
(1)y＝f(x)＋a (2)y＝a－f(x) (3)y＝[f(x)]2.
15．畫出函式y＝|x2－x－6|的圖象，指出其單調區間． 16．討論函式y＝在[－1,1]上的單調性．
17．求證：函式f(x)＝x＋(a＞0)，在區間(0，a]上是減函式．
18．已知f(x)在r上是增函式，且f(2)＝0，求使f(|x－2|)>0成立的x的取值範圍．
答案1、f(x1)f(x2) 單調性
函式單調性證明
解函式的單調性時需注意的幾個概念 劉長柏函式的單調性是函式的乙個很重要的性質，也是歷年高考命題的重點。但是不少同學由於對概念認識不足，審題不清，在解答這類題時容易出現錯解。下面對做這類題時需注意的事項加以說明，以引起同學們的重視。一 應用定義證明，要注意步驟的嚴密性 例1.證明函式在r上是減函式。解...
函式單調性的判定方法
1.判斷具體函式單調性的方法 1.1 定義法 一般地，設為定義在上的函式。若對任何 當時，總有 1 則稱為上的增函式，特別當成立嚴格不等時，稱為上的嚴格增函式 2 則稱為上的減函式，特別當成立嚴格不等式 時，稱為上的嚴格減函式。利用定義來證明函式在給定區間上的單調性的一般步驟 1 設元，任取,且 2...
函式的單調性證明
1.函式單調性的定義 一般地，設函式的定義域為，如果對於屬於定義域內某個區間上的任意兩個自變數的值,當時，都有 那麼就說在這個區間上是增函式 減函式 理解函式單調性時，應注意以下問題 1 函式的單調區間是定義域的子集，確定函式單調區間時，應首先確定其定義域，定義域中的,相對於單調區間具有任意性，不能...