【本講教育資訊】
一. 教學內容：
第十一章複習
二、教學目標：
1、理解定義、命題、公理、定理的概念
2、理解證明的必要性掌握推理的基本方法、格式、熟練地進行幾何證明
3、體驗本章知識的精神
三、教學重點與難點：
1、用輔助線幫助證明問題；
2、證明不等關係．
四、課堂教學
（一）知識要點
知識點1：基本概念
1、定義：對名稱和術語的含義加以描述，並作出明確的規定．
2、命題：判斷一件事情的句子．做為乙個命題的兩部分——條件和結論缺一不可．
3、公理：挑選一部分公認的真命題作為證明其他命題真假的起始依據．
4、證明：用推理的方法證實真命題的過程叫做證明
5、定理：經過證明的一些真命題，規定為定理．
知識點2：主要性質
1、平行線的識別
公理：同位角相等，兩直線平行
定理：（1）內錯角相等，兩直線平行
（2）同旁內角互補，兩直線平行
2、平行線的特徵
公理：兩直線平行，同位角相等
定理：（1）兩直線平行，內錯角相等
（2）兩直線平行，同旁內角互補
3、三角形內角和定理
定理：三角形三個內角的和等於180°
推論：（1）三角形的乙個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和
（2）三角形的乙個外角大於與它不相鄰的任意乙個內角
【典型例題】
例1、觀察下列命題，你能發現它們有什麼共同的結構特徵嗎？請你填寫下表．
命題（1）：如果a>0， b<0，那麼|a|=|b|.
命題（2）：如果兩個三角形的三條邊對應相等，那麼這兩個三角形全等．
命題（3）：如果乙個三角形有2個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等．
命題（4）：對頂角相等．
命題（5）：同位角相等，兩直線平行.
命題（6）：面積相等的兩個三角形全等．
說明：命題都由條件和結論兩部分組成，缺少其中一部分就不能構成命題，
說明：有些命題的條件和結論不夠明顯，通過將命題改寫成「如果……， 那麼……」的形成，然後再寫出條件和結論，
例2、在一次測試中，老師出了題目：比較nn+1與（n＋1）n的大小．有些同學經過計算發現：當n=1，2時，有nn+1<（n＋1）n，於是認為命題「如果n為任意自然數，則nn+1<（n＋1）n為真命題，你認為他們的判斷正確嗎？
說說你的理由．
解：他們的判斷不正確
當n=1，2時，nn+1<（n＋1）n雖然成立，而當n=3時，nn+1<（n＋1）n就不再成立．
說明乙個命題是真命題，驗證個別例子無法保證其正確性，僅靠舉例證實是不夠的，它要通過演繹推理去證明．而要說明乙個命題是假命題，只要舉出乙個反例就足以說明，
例3、如圖1，已知ad是△abc的bc邊上的中線，且ab>ac，求證：
（1）∠2>∠1
（2）ad<∠（ab+ac）
圖1證法1：（1）取ac的中點e，連線de．
因為ad是bc邊上的中線（已知）
所以de//ab，且de=ab
所以∠1=∠3（兩直線平行，內錯角相等）
因為ab>ac，所以de>ae
所以∠2>∠3，所以∠2>∠1
證法2：（1）如圖2所示，
延長ad到e，使de=ad，連線be，ec，
因為bd=dc，
所以abec為平行四邊形，
所以∠2=∠3，ac=be
在△abe中，因為ab>ac，ac=be，
所以ab>be，所以∠3>∠1
所以∠2>∠1
圖2證明：（2）因為de+ae>ad（三角形任意兩邊之和大於第三邊），而ae=ac， de=ab
所以ac>ad.即ad<（ab+ac）
例4、如圖所示，已知ab≤ac，求證∠acb<∠abc．
分析：欲證∠acb<∠abc，可用乙個等於∠abc的角與∠acb相比較，由三角形的外角定理，只需延長cb到d，使bd=ba，連線ad，則∠adb=∠abc．
證明：延長cb到d，使bd=ba，連線ad，則∠adb=∠dab．
因為∠abc是△adb的外角，所以∠abc=∠adb+∠dab．
即∠abc=2∠adb，∠adb=∠abc，
在△abd中，ad所以ad<2∠ab．
因為2ab≤ac，所以ad所以∠acd<∠adc，所以∠acb<∠abc
例5、如圖所示，已知o是△abc內一點，求證：
． 證明：因為ab所以（ab+bc+ca） 延長bo交ac於e
則ab+ae>ob+oe，oe+ce>oc
將這兩個不等式相加，得ab+ca>ob+oc
同理，ab+bc>oa+oc，ca+bc>oa+ob
三式相加，得2（ab+bc+ca）>2（oa+ob+oc），
所以ab+bc+ca>oa+ob+oc，
綜上所述可得：（ab+bc+ca）< oa+ob+oc例6、如圖所示，已知在△abc中，ab>ac，ad平分∠bac，交bc於d，求證bd>dc．
分析：①用補短法，延長角的短邊，使它等於這個角的長邊，構成新三角形；
②用截長法，在角的長邊上擷取一線段，使它等於短邊，構成新的三角形．
證法1：延長ac到e，使ae=ab，連線de．
則有△abd≌△aed（sas）
因為∠adc>∠b，∠dce >∠adc ，∠b=∠e
所以∠dce>∠e，所以de>dc．
由△abd≌△aed，得bd=de．
所以bd>dc．
證法2：如圖所示
在ab上擷取ae=ac，則有△aed≌△acd，
從而∠4=∠3，de=cd
（全等三角形的對應角相等，對應邊也相等）．
因為∠5>∠3，∠4=∠3
所以∠5>∠4，
因為∠4>∠b，所以∠5>∠b
所以bdcd．
例7、兩個全等的含30，60角的三角板ade和abc如圖所示放置，e，a，c三點在一條直線上，連線bd，取bd的中點m，鏈結me，mc.試判斷△emc的形狀，並說明理由.
分析：判斷乙個三角形的形狀，可以結合所給出的圖形作出假設，或許是等腰三角形.這樣就可以轉化為另乙個問題：
嘗試去證明em= mc，要證線段相等可以尋找全等三角形來解決，然而圖中沒有形狀大小一樣的兩個三角形.這時思考的問題就可以轉化為這樣乙個新問題：如何構造一對全等三角形？
根據已知點m是直角三角形斜邊的中點，產生聯想：直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，得：md= mb= ma.
鏈結m a後，可以證明△mde≌△mac.
解：△emc的形狀是等腰直角三角形.
證明：連線am，由題意得，
de = ac，ad=ab，∠dae+∠bac=90.
∴∠dab=90.
∴△dab為等腰直角三角形.
又∵md= mb，
∴m a= md= mb，am⊥db，∠mad=∠m ab=45.
∴∠mde=∠mac=105，∠dma=90.
∴△mde≌△mac.
∴∠dme=∠amc，me=mc.
又∠dme+∠ema=90，
∴∠amc+∠ema=90.
∴mc⊥em.
∴△emc的形狀是等腰直角三角形.
說明：如何對乙個命題作出判斷？構造全等三角形是解決這個問題的關鍵，那麼構造全等又如何進行的呢？
對條件的充分認識和對知識點的聯想可以找到新增輔助線的途徑.構造過程中要不斷地對問題作出判斷．或者轉化問題的提出或者轉化思維的角度.會轉化，善於轉化，更能體現思維的靈活性．在問題中不斷地猜想——判斷——證明，這是我們本章知識的靈魂所在．
【模擬試題】（答題時間：30分鐘）
一、選擇題
1、在下列命題中，真命題是（ ）
a、兩個鈍角三角形一定相似
b、兩個等腰三角形一定相似
c、兩個直角三角形一定相似
d、兩個等邊三角形一定相似
2、下列命題中，真命題是（ ）
a、關於中心對稱的兩個圖形全等
b、全等的兩個圖形是中心對稱圖形
c、中心對稱圖形都是軸對稱圖形
d、軸對稱圖形都是中心對稱圖形
3、下列語句中，是命題的是（ ）
a、直線沒有端點b、連線a、b兩點
c、我把心中的秘密告訴你d、在平面內作兩條相交的直線
4、如圖所示，已知l1∥l2，則圖中的同旁內角有（ ）
a、8對b、14對c、16對d、4對
5、直角三角形兩銳角平分線所交成的角的度數為（ ）
a、45b、135° c、45°或135° d、以上答案都不對
6、如果三角形的乙個外角不大於和它相鄰的內角，那麼這個三角形為（ ）
a、銳角三角形或直角三角形 b、鈍角三角形或銳角三角形
c、直角三角形d、鈍角三角形或直角三角形
7、如圖所示，ab//cd，∠a=35°，∠c=75°，那麼∠m等於（ ）
a、35b、40
c、45d、75°
8、如果三角形的乙個外角與和它不相鄰的兩個內角的和為180°，那麼與這個外角相鄰的內角等於（ ）
a、30° b、60c、90d、120°
二、填空題
1、若乙個三角形的兩個內角分別為50°和61°，則第三個內角為
2、若三角形三個內角的比為1：3：5，則最大內角是
3、如圖所示，若ab//cd，bc//de，則∠b+∠d度．
4、如圖所示，如果de//bc，cd是∠acb的平分線，∠acb=50°，那麼∠edc=_______度．
5、「垂直於同一條直線的兩條直線平行」的條件是結論是
6、如圖所示，在rt△abc中，ad是斜邊bc上的高，若∠c=3∠b，則∠bad度．
7、如圖所示度．
8、如圖所示，∠a=35°，∠b=80°，∠c=20°，則度．
三、解答題
1、一束光線按如圖所示的角度照到平面鏡i上，然後在i，ii之間來回反射，已知∠α=60°，∠β=50°，則度．
八年級數學下冊第十一章圖形與證明 一 複習教案蘇科版
第十一章圖形與證明 一 教學目標 課標要求 1 了解證明的含義 1 理解證明的必要性 2 通過具體的例子，了解定義 命題 定理的含義，會區分命題的條件和結論 3 結合具體例子，了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，並知道原命題成立其逆命題不一定成立 4 通過具體的例子理解反例的作用，知道利用反例可以...
八年級數學下 第十一章圖形與證明 二 試題
第十一章圖形與證明 一 一 填空題 1 命題 兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 的條件是結論是 2 如圖1，12 12 3 如圖2，在 abc中，de bc，a 45 c 70 則 ade 4 如圖3，在 abc中，be平分 abc，ce平分 acb，a 65 則 bec 345 5 如圖4，...
八年級數學下 第十一章圖形與證明 一 單元測試蘇科版
第十一章圖形與證明 一 一 填空題 1 命題 兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 的條件是結論是 2 如圖1，12 12 3 如圖2，在 abc中，de bc，a 45 c 70 則 ade 4 如圖3，在 abc中，be平分 abc，ce平分 acb，a 65 則 bec 345 5 如圖4，...