平行四邊形的判定方法有:(1)證兩組對邊分別平行;(2)證兩組對邊分別相等;(3)證一組對邊平行且相等;(4)證對角線互相平分;(5)證兩組對角分別相等。下面以近幾年的中考題為例說明如何證明四邊形是平行四邊形。
一、兩組對邊分別平行
例1如圖1,已知△abc是等邊三角形,d、e分別在邊bc、ac上,且cd=ce,鏈結de並延長至點f,使ef=ae,鏈結af、be和cf
(1)請在圖中找出一對全等三角形,用符號「≌」表示,並加以證明;
(2)判斷四邊形abdf是怎樣的四邊形,並說明理由。
分析:(2)由已知及(1)知圖中有三個全等三角形,故出現角等,可得兩對邊分別平行,從而可證abdf是平行四邊形。
解:(1)選證△bde≌△fec
證明:∵△abc是等邊三角形,∴bc=ac,∠acd=60°
∵cd=ce,∴bd=ae,△edc是等邊三角形
∴de=ec,∠cde=∠dec=60°
∴∠bde=∠fec=120°
又∵ef=ae,∴bd=fe,∴△bde≌△fec
(2)四邊形abdf是平行四邊形
理由:由(1)知,△abc、△edc、△aef都是等邊三角形
∵∠cde=∠abc=∠efa=60°
∴ab∥df,bd∥af
∵四邊形abdf是平行四邊形。
點評:當四邊形兩組對邊分別被第三邊所截,易證截得的同位角相等,內錯角相等或同旁內角相等時,可證四邊形的兩組對邊分別平行,從而四邊形是平行四邊形。
二、一組對邊平行且相等
例2 已知:如圖2,在正方形abcd中,g是cd上一點,延長bc到e,使ce=cg,鏈結bg並延長交de於f
圖2(1) 求證:△bcg≌△dce;
(2) 將△dce繞點d順時針旋轉90°得到△dae′,判斷四邊形e′bgd是什麼特殊四邊形?並說明理由。
分析:(2)由於abcd是正方形,所以有ab∥dc,又通過旋轉ce=ae′已知ce=cg,所以e′a=cg,這樣就有be′=gd,可證e′bgd是平行四邊形。
解:(1)∵四邊形abcd是正方形,∴bc=cd,∠bcd=90°
∵∠bcd+∠dce=180°,∴∠bcd=∠dce=90°
又∵cg=ce,∴△bcg≌△dce
(2)∵△dce繞d順時針旋轉90°得到△dae′,
∴ce=ae′,∵ce=cg,∴cg=ae′,
∵四邊形abcd是正方形∴be′∥dg,ab=cd
∴ab-ae′=cd-cg,即be′=dg
∴四邊形de′bg是平行四邊形
點評:當四邊形一組對邊平行時,再證這組對邊相等,即可得這個四邊形是平行四邊形
三、兩組對邊分別相等
例3如圖3所示,在△abc中,分別以ab、ac、bc為邊在bc的同側作等邊△abd,等邊△ace,等邊△bcf。
圖3求證:四邊形daef是平行四邊形;
分析:利用證三角形全等可得四邊形daef的兩組對邊分別相等,從而四邊形daef是平行四邊形。
解:∵△abd和△fbc都是等邊三角形
∴∠dbf+∠fba=∠abc+∠fba=60°
∴∠dbf=∠abc
又∵bd=ba,bf=bc
∴△abc≌△dbf
∴ac=df=ae
同理△abc≌△efc
∴ab=ef=ad
∴四邊形adfe是平行四邊形
點評:題設中存在較多線段相等關係時,可證四邊形的兩組對邊分別相等,從而可證四邊形是平行四邊形。
四、對角線互相平分
例4已知:如圖4,平行四邊形abcd的對角線ac和bd相交於o,ae⊥bd於e,bf⊥ac於f,cg⊥bd於g,dh⊥ac於h,求證:四邊形efgh是平行四邊形。
圖4分析:因為題設條件是從四個頂點向對角線引垂線,這些條件與四邊形efgh的對角線有關,若能證出oe=og,of=oh,則問題可獲得解決。
證明:∵ae⊥bd,cg⊥bd,
∴∠aeo=∠cgo,∵∠aoe=∠cog,oa=oc
∴△aoe≌△cog,∴oe=og
同理△bof≌△doh
∴of=oh
∴四邊形efgh是平行四邊形
點評:當已知條件與四邊形兩對角線有關時,可證兩對角線互相平分,從而證四邊形是平行四邊形。
五、兩組對角相等
例5 將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖5擺放在一起
圖5圖6
(3) 四邊形abcd是平行四邊形嗎?說出你的結論和理由
(4) 如圖6,將rt△bcd沿射線bd方向平移到rt△b1c1d1的位置,四邊形abc1d1是平行四邊形嗎?說出你的結論和理由
分析:因為題設與四邊形內角有關,故考慮四邊形的兩組內角相等解決問題。
解:(1)四邊形abcd是平行四邊形,理由如下:
∠abc=∠abd+∠dbc=30°+90°=120°,
∠adc=∠adb+∠cdb=90°+30°=120°
又∠a=60°,∠c=60°,
∴∠abc=∠adc,∠a=∠c
(2)四邊形abc1d1是平行四邊形,理由如下:
將rt△bcd沿射線方向平移到rt△b1c1d1的位置時,有rt△c1bb1≌rt△add1
∴∠c1bb1=∠ad1d,∠bc1b1=∠dad1
∴有∠c1ba=∠abd+∠c1bb1=∠c1d1b1+∠ad1b=∠ad1c1,∠bc1d1=
∠bc1b1+∠b1c1d1=∠d1ad+∠dab=∠d1ab
所以四邊形abc1d1是平行四邊形
點評:(2)也可這樣證明:由(1)知abcd是平行四邊形,∴ab∥cd,將
rt△bcd沿射線bd方向平移到rt△b1c1d1的位置時,始終有ab∥c1d1,故abc1d1是平行四邊形。
教你判定平行四邊形
平行四邊形是初中數學的重要內容,也是中考命題的熱點,在平行四邊形的學習過程中,常會遇到平行四邊形的判定問題,解答這類問題有以下三種思路.
思路之一考慮對邊關係:證明兩組對邊分別平行;或兩組對邊分別相等;或一組對邊平行且相等
例1、如圖,已知ac是四邊形abcd的對角線,
∠bac=∠dca,∠dac=∠bca,求證:ad=bc
證明:∵∠bac=∠dca,∠dac=∠bca,
∴ab∥dc,ab∥bc,∴四邊形abcd是平行四邊形
(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形),∴ad=bc
例2、如圖,已知在□abcd中,e、f、g、h分別是邊ab、bc、cd、da上的點,且ae=cg,bf=dh,求證:eg與fh互相平分
證明:連線ef、fg、gh、he,
由□abcd,得到ad=bc,∠a=∠c,又dh=bf,
∴ad-dh=bc-bf,即ah=cf,在△aeh和△cgf中,
ae=cg,∠a=∠c,ah=cf,∴△aeh≌△cgf,∴he=fg,同理,ef =gh,
∴四邊形efgh是平行四邊形(兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形),
∴eg與fh互相平分
例3、如圖,點e、f分別在□abcd的邊ab、cd上,且ae=cf,求證:de∥fb
證明:由□abcd,得到ab∥dc,即eb∥df,ab=cd
又ae=cf,∴ab-ae=cd-cf,即eb=df,∴四邊形ebfd是
平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形),
∴de∥fb
思路之二考慮對角關係:證明兩組對角分別相等
例4、如圖,已知□abcd中,∠b、∠d的平分線分別交cd、ab於點e、f,
求證:be=df
證明:∵四邊形abcd是平行四邊形,∴∠a=∠c,
∠abc=∠cda,又∵be、df分別平分∠abc、∠cda,
∴∠2=∠4=∠abc,∠1=∠3=∠cda,∴∠1=∠2=∠3=∠4,
又∵∠bed=∠4+∠c,∠dfb=∠3+∠a,∴∠bed=∠dfb,
∴四邊形bedf是平行四邊形(兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形),∴be=df
思路之三考慮對角線關係:證明兩條對角線互相平分
例5、如圖,已知e、f是□abcd對角線ac上兩點,且ae=cf,求證:bf∥ed
證明:連線bd,交ac於點o,∵四邊形abcd是平行四邊形
∴ob=od,oa=oc,又∵ae=cf,∴oa-ae=oc-cf,即oe=of,
∴四邊形bfde是平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)
∴bf∥ed
判定平行四邊形的五種方法
平行四邊形的判定方法有 1 證兩組對邊分別平行 2 證兩組對邊分別相等 3 證一組對邊平行且相等 4 證對角線互相平分 5 證兩組對角分別相等。下面以近幾年的中考題為例說明如何證明四邊形是平行四邊形。一 兩組對邊分別平行 如圖1,已知 abc是等邊三角形,d e分別在邊bc ac上,且cd ce,鏈...
平行四邊形判定方法
知識要點 同學們都知道,平行四邊形具有對邊平行且相等,對角相等,對角線互相平分等性質,並且我們得到了平行四邊形的五種判定方法 定義法 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.兩組對角分別相...
平行四邊形的判定
新授課編號初四學科2019年月日星期編制人審核人 初三學科 任務導學,小組互助 教案 共課時第1課時 課題名稱 直線和圓的位置關係 課時安排 授課時間2017.12.19 熟練掌握與切線有關的所有定理如切線的性質 判定,切線長定理等及重要結論,並能靈活 教學目標運用於計算證明。熟練掌握與切線有關的所...