第二講數列的綜合應用
一、選擇題
1．已知數列的前n項和sn＝n2－9n，第k項滿足5a．9b．8
c．7d．6
2．已知數列的前n項和為sn，且sn＝n2＋n，數列滿足bn＝(n∈n*)，tn是數列的前n項和，則t9等於
ab.cd.
3．數列的前n項和為sn，若a1＝1，an＋1＝3sn (n≥1)，則a6等於
a．3×44b．3×44＋1
c．43d．43＋1
4．若兩個等差數列和的前n項和分別是sn和tn，已知＝，則等於( )
a．7b.
cd.5．已知函式f(x)滿足f(x＋1)＝＋f(x) (x∈r)，且f(1)＝，則數列 (n∈n*)前20項的和為
a．305b．315
c．325d．335
6．已知是等差數列，sn為其前n項和，若s21＝s4 000，o為座標原點，點p(1，an)，點q(2 011，a2 011)，則·等於
a．2 011b．－2 011
c．0d．1
7．已知數列，an＝，前n項和為sn，關於an及sn的敘述正確的是 ( )
a．an與sn都有最大值
b．an與sn都沒有最大值
c．an與sn都有最小值
d．an與sn都沒有最小值
8．已知數列中，a1＝0，an＋1＝an＋2n，則a2 013等於
a．2 011×2 010b．2 013×2 012
c．2 014×2 013d．2 0132
二、填空題
9．已知等差數列的前n項和為sn，且s2＝10，s5＝55，則過點p(n，an)，q(n＋2，
an＋2)的直線的斜率是________．
10．有下列三角形數陣：
……………………
記三角形數陣構成的數列為，且a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…據此推測a2 011
11．已知數列的前n項和為sn，且sn＝2n－an，則數列的通項公式an
12．(2011·陝西)植樹節某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10公尺，開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為________公尺．
三、解答題
13．(2012·江西)已知數列的前n項和sn＝－n2＋kn(其中k∈n＋)，且sn的最大值為8.
(1)確定常數k，並求an；
(2)求數列的前n項和tn.
14．(2012·四川)已知數列的前n項和為sn，且a2an＝s2＋sn對一切正整數n都成立．
(1)求a1，a2的值；
(2)設a1>0，數列的前n項和為tn，當n為何值時，tn最大？並求出tn的最大值．
答案1．b 2．d 3．a 4．d 5．d 6．a 7．c 8．b
9．410.
11．2－n－1
12．2 000
13．解 (1)當n＝k∈n＋時，sn＝－n2＋kn取最大值，
即8＝sk＝－k2＋k2＝k2，故k2＝16，因此k＝4，
從而an＝sn－sn－1＝－n(n≥2)．
又a1＝s1＝，所以an＝－n.
(2)因為bn＝＝，
tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋＋…＋＋，
所以tn＝2tn－tn＝2＋1＋＋…＋－
＝4－－＝4－.
14．解 (1)取n＝1，得a2a1＝s2＋s1＝2a1＋a2，①
取n＝2，得a22＝2a1＋2a2.②
由②－①，得a2(a2－a1)＝a2.③
若a2＝0，由①知a1＝0；
若a2≠0，由③知a2－a1＝1.④
由①④解得a1＝＋1，a2＝2＋或a1＝1－，
a2＝2－.
綜上可得，a1＝0，a2＝0或a1＝＋1，a2＝＋2或a1＝1－，a2＝2－.
(2)當a1>0時，由(1)知a1＝＋1，a2＝＋2.
當n≥2時，有(2＋)an＝s2＋sn，
(2＋)an－1＝s2＋sn－1.
所以(1＋)an＝(2＋)an－1，即an＝an－1(n≥2)．
所以an＝a1()n－1＝(＋1)·()n－1.
令bn＝lg，
則bn＝1－lg()n－1＝1－(n－1)lg 2＝lg.
所以數列是單調遞減的等差數列.
從而b1>b2>…>b7＝lg >lg 1＝0.
當n≥8時，bn≤b8＝lg 故當n＝7時，tn取得最大值，且tn的最大值為
t7＝＝＝7－lg 2.
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