第一章緒論
例1． 已知數 x=2.718281828...,取近似值 x*=2.7182,那麼x具有幾位有效數字
點評；考查的有效數字的概念。
解；故有四位有效數字。
例2．近似數關於真值有幾位有效數字
解： 故有三位有效數字。
例3．數值x*的近似值x=0.1215×10－2，若滿足( )，則稱x有4位有效數字
點評；已知有效數字的位數，反過來考查有絕對誤差。
解；有四位有效數字則意味著如果是乙個形如的數
則絕對誤差限一定為，由於題目中的數,故最終的
絕對誤差為
例4．有效數，試確定的相對誤差限。
點評；此題考查相對誤差的傳播。
故有解： =0.0004993
例5．sin1有2位有效數字的近似值0.84的相對誤差限是 .
解法1 ：（有效數字與相對誤差限的關係）
解法2；（相對誤差限的概念）
例6．的相對誤差為的相對誤差的----倍。
解：根據誤差傳播公式
則有第二章
例1．設可微，求根的牛頓迭代公式----。
解；化簡得到
根據牛頓迭代格式
則相應的得到
例2： 求方程
在區間[1, 1.5]內的實根。要求準確到小數點後第2位。
思路；用二分法，這裡a = 1, b = 1.5， 且f (a) < 0，f (b) > 0。取區間[a, b]的中點x0 = 1.
25將區間二等分，由於f (x0)< 0，即f (x0)與f (a)同號，故所求的根必在x0的右側，這裡應令a1 = x0 = 1.25，b1 = b = 1.5，而得到新的有根區間（a1, b1）。
對區間（a1, b1）再用中點x1 = 1.375二分，並進行根的隔離，重複步驟2、3；
解：預先估計一下二分的次數：按誤差估計式
解得k = 6，即只要二分6次，即達所求精度。計算結果如下表：
例3：求方程的乙個根
解：因為f (0) = 1>0 f (1) = -7 <0，知方程在[0, 1]中必有一實根，現將原方程改為同解方程
由此得迭代格式
收斂性判斷；當時，，且由於
， 故迭代格式收斂
取初始值x0 = 1，可逐次算得
x1 = 0.4771
x2 = 0.3939
x6 = 0.3758
x7 =0.3758
例4：求方程在[0, 0.5]內的根，精確到10-5。
解：將方程變形
因為，在[0, 0.5]內為增函式，所以
滿足收斂條件，取x0 = 0.25，用公式（2.3）算得
x1 = (0.25) = 0.3385416
x2 = (x1) = 0.3462668
x3 = (x2) =0.3471725
x4 = (x3) =0.3472814
x5 = (x4) =0.3472945
x6 = (x5) =0.3472961
x7 = (x6) =0.3472963
取近似根為x* = 0.347296
例5： 用牛頓迭代法建立求平方根（c >0）的迭代公式，並用以上公式求
解：設，（x >0）則c就是f (x) =0的正根。由為f』 (x) = 2x，所以得迭代公式
或2.6）
由於x >0時，f』 (x) >0，且f (x) > 0，根據定理3知：取任意初值，所確定的迭代序列必收斂於。
取初值x = 0.88，計算結果見表
故可取第三章
例1．.用列主元消去法解線性方程組
計算過程保留4位小數.
解. [ab]= (選為主元換行，消元)
選為主元，並換行消元)
係數矩陣為上三角形矩陣，於是回代得解
方程組的解為x(1.000 0,2.000 0,3.000 0)t
例2：用列主元高斯消去法求解方程
由於解方程組取決於它的係數，因此可用這些係數（包括右端項）所構成的「增廣矩陣」作為方程組的一種簡化形式。對這種增廣矩陣施行消元手續：
第一步將4選為主元素，並把主元素所在的行定為主元行，然後將主元行換到第一行得到
消元過程的結果歸結到下列三角形方程組：
回代，得
例3：用直接三角分解法解
解：（1）對於r = 1，利用計算公式
l21 = 2 l 31 = 3
（2）對於r = 2，
5 – 2 2 = 1
2 – 2 3 = -4
（3）r = 3
於是 （4）求解：
ly = b 得到
y1 = 14
y2 = b2 – l21y1 = 18 – 2 14 = -10
y3 = b3 – (l31y1 + l32y2) = 20 – (3 14 + (-5)(-10)) = - 72
從而 y = (14, -10, -72)t
由ux= y 得到
例5：用雅克比迭代法和高斯――賽得爾迭代法解線性方程組
解：所給線性方程組的係數矩陣按行嚴格對角佔優，故雅克比迭代法和高斯――賽得爾迭代法都收斂。
d = diag (9, 8, 9d-1 = diag (1/9, 1/8, 1/9)
雅克比迭代法的迭代公式為：
取x(0) = (0, 0, 0)t，由上述公式得逐次近似值如下：
高斯――賽得爾迭代法：
迭代結果為：
例6．考察用高斯賽德爾迭代法解方程組
收斂性，並取，求近似解，使得（i=1，2，3）
解法同上（1，1，-1）
例7. 設矩陣a＝，那麼以a為係數矩陣的線性方程組ax＝b的雅可比迭代矩陣為( a )
(ab)
(c) (d)
例8、 高斯--塞爾德迭代法解線性方程組
的迭代格式中求
例9、 若則矩陣a的譜半徑 (a)= ＿＿＿
第五章第六章
1． 矛盾方程組的最小二乘解為----。
2． 給出擬合三點和的直線方程。
第七章1．插值型求積公式的求積係數之和為＿1＿＿
已知，則差商
3． 求積公式有幾次的代數精確度？（1）
4． 插值型求積公式的代數精確度至少是----次。n
5． 已知n=4時牛頓－科茨求積公式的科茨係數那麼＝( )
6． 設求積公式，若對的多項式積分公式精確成立，而至少有乙個m+1次多項式不成立。則稱該求積公式具有m次代數精度.
7． 取m=4,即n=8，用復化拋物線求積公式計算積分
計算過程保留4位小數.
解 n=8, h=,f(x)=ln(1+x2)
計算列表
代入拋物線求積公式
第八章例1用尤拉法求初值問題
當h = 0.02時在區間[0, 0.10]上的數值解。
解把代入尤拉法計算公式。就得
具體計算結果如下表：
例2．.取h=0.1, 用改進尤拉法預報－校正公式求初值問題
在x=0.1, 0.2處的近似值. 計算過程保留3位小數.
預報－校正公式為
h=0.1,x0=0，y0=1，x1=0.1，於是有
h=0.1,x1=0.1，y1=1.227，x2=0.2，於是有
所求為y(0.1)y1=1.227 y(0.2)y2=1.528
例3 匯出用三階泰勒級數法解方程
的計算公式
解:因故
而其中表示f(x, y)對x的k階偏導數在x = xn點上的值。
例4 用龍格――庫塔法解初值問題
y』 = x2 – y (0≤x≤1) y(0) = 1
解 ： 取 h = 0.1， 由下面公式
把初始條件x0 = 0，y0 = 1，代入,得k1 = -1，k2 = -0.9475，k3 = -0.9501，k4 = 0.8950，將這些k值代，得
重複上述步驟可算出y2，y3，…，y10等。
例5．設有求解初值問題的如下格式
如假設問常數為多少時使得該格式為二階格式？
計算方法總複習
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數值計算方法複習提綱
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