一、 期末考試試題
期末考試主要考核：
● 基本概念；
● 基本原理；
● 基本運算。
必須帶簡易計算器。
總成績=平時成績*30%+期末成績*70%
二、 考核知識點、複習要求
1 誤差
(一) 考核知識點
● 誤差的**型別；
● 絕對誤差和絕對誤差限，相對誤差和相對誤差限，有效數字；
● 絕對誤差的傳播。
(二) 複習要求
1. 產生誤差的主要**。
2. 了解絕對誤差和絕對誤差限、相對誤差和相對誤差限和有效數字等概念以及它們之間的關係。
2 方程求根
(一) 考核知識點
二分法；迭代法；牛頓法；弦截法。
(二) 複習要求
1. 知道有根區間概念，和方程f(x)=0在區間 (a,b)有根的充分條件。
2. 掌握方程求根的二分法，知道其收斂性；
掌握二分法迭代次數公式;
掌握迭代法，知道其收斂性。
3. 熟練掌握牛頓法。掌握初始值的選擇條件。
4. 收斂階和收斂速度
3 線性方程組的數值解法
(一) 考核知識點
高斯順序消去法，列主元消去法,lu分解法；
消去法消元能進行到底的條件;
雅可比迭代法，高斯―賽德爾迭代法。
(二) 複習要求
1. 掌握線性方程組雅可比迭代法和高斯――賽德爾迭代法。
2. 知道高斯消去法的基本思想，
熟練掌握高斯順序消去法和列主元消去法。
3. 知道解線性方程組的高斯消去法消元能進行到底的條件，
迭代解收斂性的充分條件。
4. cond(a)的概念和性質
4 函式插值與最小二乘法
(一) 考核知識點
● 插值函式，插值多項式；
● 拉格朗日插值多項式;插值基函式；
● 牛頓插值多項式；差商表;
● 分段線性插值、線性插值基函式
(二) 複習要求
1. 了解插值函式，插值節點等概念。
2. 熟練掌握拉格朗日插值多項式的公式，
知道拉格朗日插值多項式餘項。
3. 掌握牛頓插值多項式的公式，
掌握差商表的計算，知道牛頓插值多項式的餘項。
4. 掌握分段線性插值的方法和線性插值基函式的構造。
6. 了解曲線擬合最小二乘法的意義和推導過程，
掌握法方程組的求法，以及線性擬合和二次多項式擬合的方法。
5 數值積分與微分
(一) 考核知識點
● 數值求積公式，求積節點，求積係數，代數精度；
● 插值型求積公式，牛頓―科特茨求積公式，科特茨係數及其性質，
● (復化)梯形求積公式，(復化)拋物線求積公式；
● 高斯型求積公式，高斯點，(二點、三點)高斯――勒讓德求積公式；
(二) 複習要求
1. 了解數值積分和代數精度等基本概念。
2. 了解牛頓科茨求積公式和科茨係數的性質。熟練掌握並推導(復化)梯形求積公式和(復化)拋物線求積公式。
3. 知道高斯求積公式和高斯點概念。會用高斯勒讓德求積公式求定積分的近似值。
4. 知道插值型求導公式概念，掌握兩點求導公式和三點求導公式。
6 常微分方程的數值解法
(一) 考核知識點
尤拉公式，梯形公式，改進尤拉法，區域性截斷誤差；
龍格―庫塔法，區域性截斷誤差。
(二) 複習要求
1. 掌握尤拉法和改進的尤拉法(梯形公式、預報－校正公式和平均形式
公式)，知道其區域性截斷誤差。
2. 知道龍格庫塔法的基本思想。知道二階、三階龍格庫塔法。
掌握四階龍格――庫塔法，知道龍格庫塔法的區域性截斷誤差。
三、重、難點分析
例1 證明計算的牛頓切線法迭代公式為：
並用它求的近似值（求出即可）
解 (1) 因計算等於求正根，，
代入牛頓法迭代公式得
(2) 設，因
所以選用上面匯出的迭代公式計算得
例2 用迭代法求的最小正根（求出即可）。
解 （1）用迭代法
因，，故
在上將，同解變形為
則 取應用迭代公式
計算得例3 用列主元消元法的方程組
注意：每次消元時主元的選取是各列中係數最大的。
解第1列主元為3，交換第1、2方程位置後消元得，
第2列主，元為交換第2、3方程位置後消元得
回代解得
例4 將矩陣a進行三角分解（doolittle分解,crout分解,ldu分解）
其中說明：一般進行矩陣的三角分解採用緊湊格式。即應用矩陣乘法和矩陣相等原則進行矩陣的三角分解（或代入公式求得相應元素）。在分解時注意矩陣乘法、矩陣求逆等代數運算。
解：則矩陣的doolittle分解為
因為對角陣，則
所以矩陣的ldu分解為
矩陣的crout分解為
例5 用lu分解求解方程組
注意：消元過程是解方程組，和回代過程是解方程組。
解：（1）將矩陣進行三角分解，由上例得：
矩陣的三角分解為
（2）解方程組
（3）解方程組
所以例6 已知向量x=（1，-2，3）,求向量x的三種常用範數。
解 ，
例7 證明
證明因為
所以例8 已知矩陣，求矩陣a的三種常用範數。
解 ，，
例9 已知方程組
（1）寫出解此方程組的雅可比法迭代公式
（2）證明當時，雅可比迭代法收斂
（3）取,，求出。
解 （1）對，從第個方程解出，得雅可比法迭代公式為：
（2）當時，a為嚴格對角佔優矩陣，所以雅可比迭代法收斂。
（3）取，
由迭代公式計算得
則 =（，，）
例10 用高斯——塞德爾迭代法解方程組
（1）證明高斯——塞德爾迭代法收斂
（2）寫出高斯——塞德爾法迭代公式
（3）取，求出
解 （1）因為a為嚴格對角佔優矩陣，故高斯——塞德爾迭代收斂。
（2）對，從第個方程解出，得高斯——塞德爾法迭代公式為
（3則=（，，）
例11 已知用線性插值計算，並估計誤差。
解取插值節點x0= 4,x1= 9，兩個插值基函式分別為
故有 誤差為
例12 已知函式數數值表
用拋物插值法求近似值。
解作差商表：
代入牛頓插值多項式得
故 例13 已知的函式表
求在[0，2]內的零點近似值。
解因為yi關於x嚴格單調減少，用反插值法求f(x) 零點的近似值比較簡單，
具體作法如下：
先作反函式表
將節點x0=8,x1=-7.5，x2=-18及對應函式值y0=0,y1=1,y2=2代入二次拉格朗日插值多項式（2.2），再令x=0,得
於使得f(x)在[0，2]內零點
值得注意的是，只有所給函式（或函式表）在[a,b]上嚴格單調情況下，才能使用反插值方法，否則可能得出錯誤結果。
例14 已知數表：
利用最小二乘求線性關係式。
解設最小一次式為，由係數公式得：
於是有法方程組
解法方程組得
所以最小二乘一次式
例15 求下列矛盾方程組的最小二乘解。
解令由得法方程組
解得所以最小二乘解為
例16 已知插值基函式，
證明 ：當時，
證明： 令 ，
則有 因為，所以。
例17 在區間上，求以為節點的內插求積公式。
解： 由係數計算公式得
所以求積公式為
例18 求積公式的代數精確度為（ ）。
解由於此公式為3個節點的內插求積公式，代數精度至少為2。
令，代入內插求積公式得
● 左邊=，右邊，
所以左邊=右邊
● 再令，代入內插求積公式得
左邊=，右邊=
所以左邊右邊
所以此公式具有3次代數精度。
例19 用梯形公式和的復化梯形公式求積分，並估計誤差。
解 （1） 梯形公式
因為，，代入梯形公式得
則（2） 復化梯形公式
因為和復化梯形公式得
因為 ，，
所以例20 用辛卜生公式和復化辛卜生公式計算積分，使誤差小於
解 （1）辛卜生公式
因為，，代入辛卜生公式得
4（2）復化辛卜生公式
因為解不等式
得 ，用，復化辛卜生公式計算得
例21 設為內插求積公式係數
求證:證明： 設，因為
所以例22 用尤拉法，預估——校正法求一階微分方程初值問題
，在（0.1）0.2近似解
解 （1）用尤拉法計算公式
， 計算得
（2）用預估—校正法計算公式
計算得， 一. 填空題 (每小題 4分，共 28份)
1．已知矩陣，則
2． 若用正邊形的面積作為其外接圓面積的近似值，則該近似值的相對誤差是
3．三次方程的牛頓迭代格式是
4．若求解某線性方程組有迭代公式，其中，則該迭代公式收斂的充要條件是
5．設，則滿足條件的二次插值公式
6．已知求積公式至少具0次代數精度，則
7．改進的euler方法
計算方法總複習
第一章緒論 例1 已知數 x 2.718281828.取近似值 x 2.7182,那麼x具有幾位有效數字 點評 考查的有效數字的概念。解 故有四位有效數字。例2 近似數關於真值有幾位有效數字 解 故有三位有效數字。例3 數值x 的近似值x 0.1215 10 2，若滿足 則稱x有4位有效數字 點評 ...
數值計算方法複習題
習題七1.判斷下列方程有幾個實根，並求出其隔根區間。1 2 3 4 1 2 3 4 為根。2.方程在區間 3，4 中有一實根，若用二分法求此根，使其誤差不超過 問應將區間對分幾次？並請用二分法求此根。6 3.下列方程各有一實根，判別能否直接將其寫成迭代格式而後求解？如不能，將方程變形，給出乙個收斂的...
數值計算方法複習提綱
第一章引論 計算方法解決問題的主要思想 計算方法的精髓 以直代曲 化繁為簡 1 採用 構造性 方法 構造性方法是指具體地把問題的計算公式構造出來。這種方法不但證明了問題的存在性，而且有了具體的計算公式，就便於編制程式上機計算。2 採用 離散化 方法 把連續變數問題轉為求離散變數問題。例 把定積分離散...