第一章引論
計算方法解決問題的主要思想
計算方法的精髓：以直代曲、化繁為簡
1、採用「構造性」方法
構造性方法是指具體地把問題的計算公式構造出來。這種方法不但證明了問題的存在性，而且有了具體的計算公式，就便於編制程式上機計算。
2、採用「離散化」方法
把連續變數問題轉為求離散變數問題。
例：把定積分離散成求和，把微分方程離散成差分方程。
3、採用「遞推化」方法
將複雜的計算過程歸結為簡單過程的多次重複。由於遞推演算法便於編寫程式，所以數值計算中常採用「遞推化」方法。
4、採用「近似代替」方法
計算機運算必須在有限次停止，所以數值方法常表現為乙個無窮過程的截斷，把乙個無限過程的數學問題，轉化為滿足一定誤差要求的有限步來近似替代。
演算法的可行性分析
時間複雜度、空間複雜度
分析演算法的複雜性（包含時間複雜性和空間複雜性）。
時間複雜度是演算法耗費時間的度量。
演算法的空間複雜度是指演算法需占用儲存空間的量度
演算法的可靠性分析
良態演算法、病態演算法
乙個演算法若運算過程中捨入誤差的積累對最後計算結果影響很大，則稱該演算法是不穩定的或病態演算法，反之稱為穩定演算法或良態演算法。
誤差的**
1、模型誤差
我們所建立的數學模型是對實際問題進行抽象簡化而得到的。因而總是近似的，這就產生了誤差。這種數學模型解與實際問題的解之間出現的誤差，稱為模型誤差。
2、觀測誤差
觀測到的資料與實際資料之差。
3、截斷誤差
數學模型的準確解與計算方法的準確解之間的誤差。
4、捨入誤差
由於計算機字長有限，原始資料在計算機上表示會產生誤差，每次計算又會產生新的誤差，這種誤差稱為捨入誤差。
絕對誤差、相對誤差
定義2 記x*為x的近似數，稱e(x)=x-x*為近似數x*的絕對誤差，|e(x)|為絕對誤差限。
定義3 稱er(x)=(x-x*)/x為近似數x*的相對誤差。實際運算時也將er*(x)=(x-x*)/x*稱為近似數x*的相對誤差。
「四捨五入」：即尾數是4或以下則捨去，尾數是6或以上則進1，如果尾數是5，則規定：前面一位數字是偶數則捨去，奇數則進1。
定義4 將近似數x*寫為十進位制形式
若其中x*的最末一位數an是經過「四捨五入」得到的，即
（最後一位是因為進1，實際上只進0.5或捨去最多0.5。）
則稱近似數x*具有n位有效數字。
近似數x*的有效數字位數n越大，則近似數的絕對誤差限便越小，若近似數具有n位有效數字，則相對誤差限為
第二章一元非線性代數方程的求解
對半分法
適用條件：假設函式f在[a,b]上連續(記為f∈c[a,b])，f在區間端點異號，即f(a)*f(b)<0。求解方法：
1、將區間[a,b]分半，取中點(a+b)/2給x*，求f(x*)。若| f(x*) |≤ε1 ，則x*是f(x)=0的近似解，輸出x* ，停止計算，否則作下一步。
2、計算f(a)*f(x*)，若f(a)*f(x*)<0，則b= x* ，否則a= x* ，形成乙個有f(x)=0的解的新的區間，其長度比原區間少一半。
3、對新的含根區間重複上述步驟直到區間長度|a-b|<ε2或| f(x*) |≤ε1 。
一般迭代法（重點）
如何得到迭代格式；
將方程f(x)=0化為乙個等價同解方程。例f(x)=φ(x)-x可化為x=φ(x)，且φ(x)是連續函式。因此求f的解變為求曲線y=φ(x)與直線y=x交點的橫座標。
解曲線y=φ(x)與直線y=x交點的橫座標。給定乙個初值x0(x』的初始近似值)。由曲線y=φ(x)得xn+1=φ(xn)，n=0，1，2，…。
把初始值x0代入上式的右端得到x1 ，再將x1代入右端得到x2 ，…，如此重複，得到迭代數列 ，其中xn+1=φ(xn) ，n=0，1，2，…稱為解方程f(x)=0的乙個迭代格式，x0稱為迭代初值。
如何判斷是否壓縮對映；
收斂階；
壓縮對映定理
定理2 迭代收斂定理或壓縮對映定理、不動點定理
設迭代函式φ(x)在[a,b]上具有連續的一階導數，且
(1)當x∈[a,b]時，φ(x)∈[a,b]
(2)存在正數l<1，使對任意x∈[a,b]有|φ』(x)| ≤l<1成立，則
(1)方程x=φ(x)在[a,b]上有唯一不動點(根)x』，且對任取初始近似值x0∈[a,b] ，迭代方法xn+1=φ(xn) (n=0,1,2, …)產生的序列均收斂，且收斂於這個不動點x』，即
(2)誤差估計式成立：
(3)誤差估計式成立：
加速收斂的埃特金法（重點）
迭代格式；
收斂階埃特金演算法為平方收斂
牛頓法（重點）
迭代格式；
收斂條件；
收斂階牛頓迭代格式的收斂階是2，即平方收斂。
弦截法（重點）
雙點弦截法；單點弦截法；
收斂條件；與牛頓法一樣，當在根的領域內有直至二階的連續導數且時，弦截法具有區域性收斂性
收斂階弦截法的收斂速度比牛頓法稍慢，但也是超線性收斂，其收斂階為1.618。
第三章解線性代數方程組的直接法
高斯消元法
消元步驟：（這裡只是簡述，具體請參看ppt）
第一步：消元過程，即把原方程組變為上三角方程組的過程
第二步：把已求得的x回代到方程組的其他方程中，從而求得另外的x，此過程稱為回代過程，從而得出方程組的解
公式適用條件
列主元消元法
步驟矩陣的lu分解法
能否作lu分解的定理（定理2、3）；
lu分解法解方程組
第k步，在前k-1步已經求出了uij；i=1，2，…k-1；j=1，2，…，n，lij； i=1，2，…n；j=1，2，…，k-1各元素。
向量和矩陣的範數
定義；對於向量：
對於矩陣：
常用範數
第四章解線性代數方程組的迭代法（重點）
迭代的基本理論
如何建立迭代格式；
迭代矩陣；
迭代收斂定理；
譜半徑矩陣b的特徵值為λ1， λ2， … ，λn，它們之中的絕對值最大者稱為矩陣的譜半徑，記為ρ(b)。
雅可比迭代
迭代格式
收斂定理
高斯-賽德爾迭代
迭代格式
收斂定理
定理5（收斂定理） 若a是嚴格對角佔優矩陣，則對任意初始迭代向量x(0)，由高斯-塞德爾迭代法產生的向量序列收斂於方程組ax=b的解x。
超鬆弛迭代法
上面就是超鬆弛迭代格式的推導
第五章插值方法
引論基本定義；
插值條件；
截斷誤差
代數插值的拉格朗日公式
線性插值；
拋物插值；
一般的拉格朗日插值法
其截斷誤差分析：
代數插值的埃特金公式
計算公式
差商的定義及遞推公式
代數插值的牛頓公式
三次埃爾公尺特插值
基本思想
不但要求插值函式在各節點上與f(x)的函式值相同，而且還要求插值函式在某些節點或全部節點上與f(x)的導數值也相等，甚至要求高階導數值也相等，這樣的插值函式一定能更好地逼近函式f(x) ，我們稱滿足這類要求的插值問題為埃爾公尺特插值問題。即：
第六章在計算機上計算積分和導數
中矩形、梯形和辛浦生公式
公式；代數精度，各種關係式
中矩形公式：
梯形公式：
辛浦生公式：
代數精度
各種關係式
復化求積公式
各種關係式
龍貝格積分方法
外推算法；龍貝格公式（最好看看例題）
高斯型求積公式的思路（這裡看ppt例題）
正交多項式
在計算機上求導：顯格式方法
推導顯格式方法求一階導數
第七章最小二乘法
解矛盾方程組
矛盾方程組的定義
在實際問題中所歸結出來的數學模型，往往是乙個「沒有解」的含n個未知數，m個方程的線性代數方程組，其中方程的個數m大大超過未知數的數目n，稱這樣的方程組為矛盾方程組。
求解方法
資料擬合的最小二乘法
擬合誤差的平方和
擬合函式、擬合引數
線性擬合公式、對數擬合公式、雙曲線擬合公式
推導各擬合曲線的法方程組
（其他的擬合公式可以用矛盾方程解法推導）
第八章一階常微分方程的初值問題
尤拉公式
要求推導
梯形公式
要求推導
（如果f(x,y)的形式不複雜的時候可以考慮移項）
龍格-庫塔方法的思路及二階龍格－庫塔公式
數值計算方法複習題
習題七1.判斷下列方程有幾個實根，並求出其隔根區間。1 2 3 4 1 2 3 4 為根。2.方程在區間 3，4 中有一實根，若用二分法求此根，使其誤差不超過 問應將區間對分幾次？並請用二分法求此根。6 3.下列方程各有一實根，判別能否直接將其寫成迭代格式而後求解？如不能，將方程變形，給出乙個收斂的...
數值計算方法教案 數值微分
第四章數值微分 一 中點公式 1.導數定義及數值微分的含義 向前公式 向後公式 中心公式 但當f x 不能或很難直接求導，或f x 並沒有解析表示式，只是乙個數表，此時如何計算呢？中點微分公式 用來替代f x 在a點的導數值 2.中點公式的誤差分析 作泰勒展開 把以上2式代入中點公式有 則從截斷誤差...
數值計算方法答案
習題一 2 習題二 6 習題三 15 習題四 29 習題五 37 習題六 62 習題七 70 2009 9，9 習題一1 設 0相對誤差為2 求，的相對誤差。解 由自變數的誤差對函式值引起誤差的公式 得 1 時 2 時 2 設下面各數都是經過四捨五入得到的近似數，即誤差不超過最後一位的半個單位，試指...