3．6三次樣條插值
一、教學目標及基本要求
通過對本節的學習，使學生掌握三次樣條插值方法。
二、教學內容及學時分配
本章主要介紹線性方程求根的迭代法的加速方法。要求
1．了解數值分析的三次樣條函式及有關概念。
2．正確理解三次樣條差值的基本思想、數學原理、演算法設計。
3．了解插值是數值逼近的重要方法之一，正確理解三次樣條插值的基本思想、計算公式、演算法設計、程式框圖設計和源程式。
4．掌握三次樣條差值原理和程式設計方法。
三、教學重點難點
1．教學重點：三次樣條函式、三次樣條插值。
2. 教學難點：三次樣條插值。
四、教學中應注意的問題
多**課堂教學為主。適當提問，加深學生對概念的理解，迭代加速的演算法實現。
五、教案正文
一樣條函式的概念
分段線性插值在節點處沒有連續的一階導函式，其光滑性較差。對於飛機的機翼的型線及船舶型往往要求有二階光滑度（即在節點處要求二階導函式連續）。
樣條函式的概念**於工程設計的實踐。所謂「樣條」（spline）是早期工程設計中的一種繪圖工具，它是富有彈性的細長條。繪圖時，用壓鐵迫使樣條通過指定的型值點，並保證樣條的光滑外形。
在繞度不大的情況下，樣條的曲線即為三次樣條函式。
二幾何意義
三構造三次樣條函式的理論分析
如上圖所示，通過已知的六個點，構造5個三次多項式函式分別是：紅色、藍色、黑色、紫色和綠色5根曲線。為確定一根曲線，就需要確定4個待定係數，所以總共需要4*5=20個待定係數。
另外，分析需要的約束條件。
每一根函式都要過已知的左右兩個點，則有5*2=10個約束條件。
此外，每兩個相鄰曲線在相鄰點處要求充分光滑，即在連線點處左右兩個函式在該點具有1次和2次的導函式連續，圖中有4個「中間點」，故又有4*2=8個約束條件。
若在整個圖形的兩端在加2個約束條件，整個3次樣條函式就確定了。如：
①左右兩端點上的1階導函式已知；
②左右兩端點上的2階導函式已知，如（稱為自然邊界條件）；
③若原來的函式f(x)是以xn-x0為週期的週期函式，則y0=yn，且。
四用matlab函式interp1進行三次樣條函式的插值
例1.對龍格現象中的函式進行11個點的三次樣條插值：
x=[-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5];
y=[1/26,1/17,0.1,0.2,0.5,1,0.5,0.2,0.1,1/17,1/26];
xi=-5:0.01:5;
yi=interp1(x,y,xi,'spline');
plot(xi,yi,x,y,'o')
hold on
f=inline('1/(x^2+1)');
fplot(f,[-5,5],'r')
可以繪出下圖：
紅色為原來的函式f(x)，藍色為通過曲線f(x)上的11個點而構成的三次樣條函式。從圖中可以發現三次樣條函式很好的地描述了函式f(x)。
例2.隨機構造15個點，用牛頓法（或拉格朗日法）構造14次代數多項式函式，然後再根據這15個點構造3次樣條函式。
現在在matlab命令視窗輸入：
x=1:15;
y=round(10*randn(1,15));
然後執行程式newton，有以下對話過程：
已知的座標點數n=?15
x1,x2,...,xn=?x
y1,y2,...,yn=?y
插值點=？2
ans =
0xi=1:0.01:15;
yi=interp1(x,y,xi,'spline');
plot(xi,yi,'r')
可以繪出如下圖形
顯然圖中，可以看到龍格現象，如果，在另乙個圖中重新畫3次樣條函式：
close
plot(xi,yi,x,y,'o')
可以得到：
小結本章學習了
1．泰勒插值2．拉格朗日插值3.牛頓插值4.埃爾公尺特插值5.龍格現象6.分段線性插值7.分段三次插值(3次樣條函式)
作業：（1）已知單調連續函式y=f(x)的下列資料
用插值法計算，x為多少時，f(x)=0。
提示：把xi和yi「顛倒」理解。
（2）用插值法計算矩陣的特徵多項式。
提示：為3次多項式函式，故讓分別取0,1,2,3時，求出的函式值，再構造3次多項式函式。
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