工程碩士《數值分析》總複習題（2023年用）
[由教材中的習題、例題和歷屆考試題選編而成,供教師講解和學生複習用]
一. 解答下列問題:
1）下列所取近似值有多少位有效數字( 注意根據什麼? ):
a) 對 e = 2.718281828459045…,取= 2.71828
b) 數學家祖沖之取作為的近似值.
c) 經過四捨五入得出的近似值12345，-0.001, 90.55000, 它們的有效
數字位數分別為位, 位, 位。
2) 簡述下名詞:
a) 截斷誤差 (不超過60字)
b) 捨入誤差 (不超過60字)
c) 演算法數值穩定性 (不超過60字)
3) 試推導( 按定義或利用近似公式 ): 計算時的相對誤差約等於的相對
誤差的3倍。
4) 計算球體積時,為使其相對誤差不超過 0.3% ,求半徑的相對
誤差的允許範圍。
5） 計算下式
時,為了減少乘除法次數, 通常採用什麼演算法? 將算式加工成什麼形式?
6) 遞推公式
如果取( 三位有效數字 ) 作近似計算， 問計算到時誤差為初始誤差的多少倍？ 這個計算過程數值穩定嗎 ？
二. 插值問題:
1) 設函式在五個互異節點上對應的函式值為，根據定理，必存在唯一的次數 （a） 的插值多項式
，滿足插值條件 ( b ) . 對此，為了構造lagrange插值多項式
,由5個節點作 ( c ) 個、次數均為 ( d ) 次的插值基函式
= _（e） ， 從而得lagrange插值多項式= （f） ,而插值餘項 = （g） 。
2 ) 試用三種方法求過三個離散點：a（0，1） 、b（1，2） 、c（2，3） 的
插值多項式。
3） 求函式在 [ 0 , 1 ]上的近似一次插值多項式。
4 ) 由函式值表:
1230.367879441 , 0.135335283 , 0.049787068
求的近似值.
5) 利用插值方法推導
三. 擬合問題:
1) 對離散實驗資料做最小二乘擬合的兩個主要步驟是 ( a ) 和 ( b ) .
2) 對同乙個量的多個近似值, 常取其算術平均作為該量的近似值, 這種做法的意義是什麼?
3) 設有實驗資料如下：
1.36 1.73 1.95 2.28
14.094 16.844 18.475 20.963
按最小二乘法求其擬合曲線。
4) 已知某試驗過程中函式依賴於的試驗資料如下：
40.8 1.5 1.8 2.0
試按最小二乘法擬合出乙個形如的經驗公式。
5 ) 設有實驗資料如下：
1 2 3 4
4 10 18 26
按最小二乘法擬合出乙個形如的經驗公式 。
四. 數值求積:
1) 寫出數值求積公式的一般形式, 指出其特點, 並說明它對計算機的計算有什麼意義?
2) 簡述數值求積公式的 」代數精度」 的概念
3) 插值型求積公式中,每個係數可用公式=
( a ) 計算,它們之和 = ( b ) , 其代數精度 ( c ) .
又newton-cotes公式的一般形式為 ( d ) , 其主要特點是 ( e ) , 其
cotes係數之和 = ( f ) , 其代數精度 ( g ) ;
4) 考察數值求積公式 ,
直接指出: 它是什麼型別的公式? 為使其精度盡可能高,應取什麼確值? 它是不是gauss型公式?
5 ) 求的近似值, 試寫出使用11個等分點函式值的求積
公式( 要求只列出數值公式,不需要求出具體結果 )。
6 ) 利用復化simpson公式求積分的近似值 （只需列出算式） 。
7) 利用現成函式表，分別用復化梯形公式和復化simpson公式計算積分
五. 解線性代數方程組的直接法:
1） gauss消去過程中引入選主元技巧的目的是下列中的哪一項或哪幾項？
a．提高計算速度； b．提高計算精度； c．簡化計算公式；
d．提高計算公式的數值穩定性； e．節省儲存空間。
2） 採用「列主元gauss消去法」 解下列方程組：
a) 用 」列主元gauss消去過程」 將方程組約化成上三角方程組;
b) 用 」回代過程」 依次列式計算出方程組的解。
3) 設方程組
現採用「列主元gauss消去法」求解，試回答：
a） 所用列主元gauss消去法包括哪兩個過程？
b） 要用幾步消元？
c） 每一步消元計算之前需做哪些工作（用簡短、準確的文字敘述）?
d） 現經第１步消元結果, 上述方程組已被約化為
請你繼續做消元計算, 直至約化成上三角方程組。
e）對所得上三角方程組依次列式計算出方程組的解。
六. 解線性代數方程組的迭代法:
1) 解線性代數方程組的基本型迭代公式
其中稱為什麼?又稱為什麼? 如果迭代序列有極限（即迭代公式收斂），則極限是什麼？
2） 設解線性代數方程組（其中非奇異，）
的迭代公式為
則其迭代矩陣是什麼? 此迭代公式對任意的初始向量收斂的充分必要條件是什麼？ 又此迭代公式對任意的初始向量收斂的乙個充分條件是什麼？
3) 設線性方程組 ，
試構造解此方程組的jacobi迭代公式和gs迭代公式； 試問所作的兩種
迭代公式是否收斂,為什麼? 試用初值計算gs迭代公式的前三個值.
4 ) 設方程組
試構造解此方程組的收斂的jacobi迭代公式和收斂的guass-seidel迭代公式, 並說明兩者收斂的根據; 求出這兩種迭代的迭代矩陣.
5) 設線性方程組
請按便於計算的收斂充分條件, 求使j法和gs法均收斂的的取值範圍.
七．一元方程求根:
1) 寫出求方程在 [ 1，2 ]中的近似根的乙個收斂
的不動點迭代公式，並證明其收斂性。
2) 已知方程的有根區間 [ 3，4 ] .試
寫出求該方程在 [ 3 , 4 ] 中的根的乙個不動點迭代公式; 證明所給出
的迭代公式是收斂的。試設計其計算機演算法.
3) 用newton迭代法求方程在附近的根,試寫其newton迭代公式; 並說明其收斂情況。
4) 試寫出求的newton迭代公式，並說明其收斂情況。
八. 常微分方程初值問題:
1） 常微分方程定解問題分為初值問題和 ( a ) 問題.初值問題是指由 （b） 和 （c） 兩部分聯立起來構成的問題。研究常微分方程初值問題時， 通常針對基本形式 （d） 進行研究。
設函式是某初值問題的解析解， 則該初值問題在處的解為 ( e ) 而數值解(通常記)為 （f） ,它們的關係是 ( g ) .若記是初值問題在點處的解，是由某數值方法得出的處的數值解，則該數值方法在處的區域性截斷誤差是指 （h） .
2） 設初值問題
試用euler方法取，求解上述初值問題的數值解。
3 ) 設初值問題
試用梯形方法求其解在兩點處的值的
近似值。
4） 設初值問題
試用改進的euler方法，並取，設計乙個求解上述初值問題數值解的求解方案 （或稱計算機演算法描述; 不必求出解的具體數值） 。
5 ) 設初值問題
試用4階經典r-k方法，並取，設計乙個求解上述初值問題數值解的求解方案 （或稱計算機演算法描述; 不必求出解的具體數值） 。
九、下列各小題任選其中已學過的小題作練習：
1） 設, 求，， ,；
設，求， ， ,。
2 ) 用較簡捷的方法分別求下列的插值多項式和,並寫出其餘項公式:
a)b) 3 ) 用插值方法求在處與相切 ,在處與相交的二次多項式,並推導插值餘項的估計式為
4 ) 試用最小二乘法原理求下列超定方程組的近似解:
5 ) 要計算函式在= 0.2, 0.4, 0.6 三處的近似值，
試用解初值問題的數值方法,設計其計算方案 （要求採用二階精度的計算公式）.
6) 用追趕法解三對角方程組：
7) 對方程組擬用迭代法
求解, 試確定的取值範圍,使得上述迭代公式收斂.
數值計算方法複習題
習題七1.判斷下列方程有幾個實根，並求出其隔根區間。1 2 3 4 1 2 3 4 為根。2.方程在區間 3，4 中有一實根，若用二分法求此根，使其誤差不超過 問應將區間對分幾次？並請用二分法求此根。6 3.下列方程各有一實根，判別能否直接將其寫成迭代格式而後求解？如不能，將方程變形，給出乙個收斂的...
數值計算方法課後習題答案
第一章緒論 12 1 設，x的相對誤差為，求的誤差。解 設為x的近似值，則有相對誤差為，絕對誤差為，從而的誤差為，相對誤差為。2 設x的相對誤差為2 求的相對誤差。解 設為x的近似值，則有相對誤差為，絕對誤差為，從而的誤差為，相對誤差為。3 下列各數都是經過四捨五入得到的近似數，即誤差不超過最後一位...
數值計算方法習題答案習題3習題6
習題三2 解 7.解 11.解 13.解 習題四所以在 由上述迭代格式之迭代函式為，則 故對於任意的x 0，均有 迭代是收斂的。不妨假設則有 解之得i 2,及i 1,負根不合題意捨去，故 7.證明 1 時，且所以迭代過程在區間 1.3,1.6 上收斂。2 當時，令得在上單調遞增。在單調遞減。又時，所...