第四章數值積分與數值微分
1.確定下列求積公式中的特定引數，使其代數精度盡量高，並指明所構造出的求積公式所具有的代數精度：
解：求解求積公式的代數精度時，應根據代數精度的定義，即求積公式對於次數不超過m的多項式均能準確地成立，但對於m+1次多項式就不準確成立，進行驗證性求解。
（1）若
令，則令，則
令，則從而解得
令，則故成立。
令，則故此時，
故具有3次代數精度。
（2）若
令，則令，則
令，則從而解得
令，則故成立。
令，則故此時，
因此，具有3次代數精度。
（3）若
令，則令，則
令，則從而解得
或令，則
故不成立。
因此，原求積公式具有2次代數精度。
（4）若
令，則令，則
令，則故有
令，則令，則
故此時，
因此，具有3次代數精度。
2.分別用梯形公式和辛普森公式計算下列積分：
解：復化梯形公式為
復化辛普森公式為
復化梯形公式為
復化辛普森公式為
復化梯形公式為
復化辛普森公式為
復化梯形公式為
復化辛普森公式為
3。直接驗證柯特斯教材公式（2。4）具有5交代數精度。
證明：柯特斯公式為
令，則令，則
令，則令，則
令，則令，則
令，則因此，該柯特斯公式具有5次代數精度。
4。用辛普森公式求積分並估計誤差。
解：辛普森公式為
此時，從而有
誤差為5。推導下列三種矩形求積公式：
證明：兩邊同時在上積分，得
即兩邊同時在上積分，得
即兩連邊同時在上積分，得
即6。若用復化梯形公式計算積分，問區間應人多少等分才能使截斷誤差不超過？若改用復化辛普森公式，要達到同樣精度區間應分多少等分？
解：採用復化梯形公式時，餘項為又故
若，則當對區間進行等分時，
故有因此，將區間213等分時可以滿足誤差要求
採用復化辛普森公式時，餘項為
又若，則
當對區間進行等分時
故有因此，將區間8等分時可以滿足誤差要求。
7。如果，證明用梯形公式計算積分所得結果比準確值大，並說明其幾何意義。
解：採用梯形公式計算積分時，餘項為又且又
即計算值比準確值大。
其幾何意義為，為下凸函式，梯形面積大於曲邊梯形面積。
8。用龍貝格求積方法計算下列積分，使誤差不超過.
解：因此
因此因此
9。用的高斯-勒讓德公式計算積分
解：令，則
用的高斯—勒讓德公式計算積分
用的高斯—勒讓德公式計算積分
10 地球衛星軌道是乙個橢圓，橢圓周長的計算公式是
這是是橢圓的半徑軸，c是地球中心與軌道中心（橢圓中心）的距離，記h為近地點距離，h為遠地點距離，r=6371（km）為地球半徑，則
我國第一顆地球衛星近地點距離h=439(km)，遠地點距離h=2384(km）。試求衛星軌道的周長。
解：從而有。
即人造衛星軌道的周長為48708km
11。證明等式
試依據的值，用外推算法求的近似值。解 若
又此函式的泰勒展式為
當時,當時,當時,由外推法可得
故12。用下列方法計算積分，並比較結果。
(1)龍貝格方法；
(2)三點及五點高斯公式；
(3)將積分區間分為四等分，用復化兩點高斯公式。
解(1)採用龍貝格方法可得
故有(2)採用高斯公式時
此時令則
利用三點高斯公式，則
利用五點高斯公式，則
(3)採用復化兩點高斯公式
將區間四等分，得
作變換，則
作變換，則
作變換，則
作變換，則
因此，有
13.用三點公式和積分公式求在，和1.2處的導數值，並估計誤差。的值由下表給出：
解：由帶餘項的三點求導公式可知又又
又故誤差分別為
利用數值積分求導，
設由梯形求積公式得
從而有故又且
從而有故
即解方程組可得
數值計算方法教案 數值微分
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