習題一（2）
習題二（6）
習題三（15）
習題四（29）
習題五（37）
習題六（62）
習題七（70）
2009．9，9
習題一1．設》0相對誤差為2%，求，的相對誤差。
解：由自變數的誤差對函式值引起誤差的公式：
得（1）時
；（2）時
2．設下面各數都是經過四捨五入得到的近似數，即誤差不超過最後一位的半個單位，試指出他們各有幾位有效數字。
（1）；（2）；（3）。
解：由教材關於型數的有效數字的結論，易得上面三個數的有效數字位數分別為：3，4，5
3．用十進位制四位浮點數計算
（1）31.97+2.456+0.13522）31.97+（2.456+0.1352）
哪個較精確？
解：（1）31.97+2.456+0.1352
==0.3457
（2）31.97+（2.456+0.1352）
0.3456
易見31.97+2.456+0.1352=0.345612，故（2）的計算結果較精確。
4．計算正方形面積時，若要求面積的允許相對誤差為1%，測量邊長所允許的相對誤差限為多少？
解：設該正方形的邊長為，面積為，由
解得==0.5%
5．下面計算的公式哪個算得準確些？為什麼？
（1）已知，（a），（b）；
（2）已知，（a），（b）；
（3）已知，（a），（b）；
（4）（a），（b）
解：當兩個同（異）號相近數相減（加）時，相對誤差可能很大，會嚴重喪失有效數字；當兩個數相乘（除）時，大因子（小除數）可能使積（商）的絕對值誤差增大許多。故在設計演算法時應盡量避免上述情況發生。
（1）（a）中兩個相近數相減，而（b）中避免了這種情況。故（b）算得準確些。
（2）（b）中兩個相近數相減，而（a）中避免了這種情況。故（a）算得準確些。
（3）（a）中使得誤差增大，而（b）中避免了這種情況發生。故（b）算得準確些。
（4）（a）中兩個相近數相減，而（b）中避免了這種情況。故（b）算得準確些。
6．用消元法求解線性代數方程組
假定使用十進位制三位浮點數計算，問結果是否可靠？
解：使用十進位制三位浮點數計算該方程則方程組變為
（1）-（2）得，即，把的值代入（1）得；把的值代入（2）得
解不滿足（2）式，解不滿足（1）式，故在十進位制三位浮點數解該方程用消元法計算結果不可靠。
7．計算函式和處的函式值（採用十進位制三位浮點數計算）。哪個結果較正確？
解：即， 而當時的精確值為1.6852，故的演算法較正確。
8．按照公式計算下面的和值（取十進位制三位浮點數計算）：
（1）；(2)。
解：（1）=
（2）=
9．已知三角形面積，其中。
證明：。
證明：由自變數的誤差對函式值的影響公式：。 得
=（當時，），命題得證。
習題二1．找出下列方程在附近的含根區間。
（1）；（2）；
（3）；（4）；
解：（1）設，則，，由的連續性知在內， =0有根。
同題（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零點附近的含根區間分別為；；
2．用二分法求方程在內的根的近似值並分析誤差。
解：令，則有，，，
所以函式在上嚴格單調增且有唯一實根。
本題中求根使得誤差不超過，則由誤差估計式
，所需迭代次數滿足，即取便可，因此取。
用二分法計算結果列表如下：
由上表可知原方程的根
該問題得精確解為，故實際誤差為
3．判斷用等價方程建立的求解的非線性方程在1.5附近的根的簡單迭代法的收斂性，其中
（a）；（b）；（c）
解：取1.5附近區間來考察。（a），顯然當時，單調遞減，而
因此，當時，。
又當時，，
由迭代法收斂定理，對任意初值，迭代格式，收斂。
（b），則
，所以當時， 。
又當時，，
由迭代法收斂定理，對任意初值，迭代格式，收斂。
（c），由於當時，有
，所以對任意初值（原方程的**外），迭代格式發散。
4．確定的簡單迭代法的收斂區間。如果收斂，試估計使精度達到時所需的迭代次數並進行計算。
（a）； （b）； （c）
解：（a）方程為，設，則，
，故有根區間為，題中，
故迭代公式在含根區間內收斂。
（b）方程為，設，則，
，故有根區間為，題中，
故迭代公式在含根區間內收斂。
（c）方程為，設，則，
，故有含根區間，題中，
5．對下點列用埃特金方法加速。
解：由埃特金加速公式計算，結果列下表：
6．令初值，分別用牛頓迭代法，雙點弦割法和單點弦割法求解方程的解。
解：牛頓迭代法
，，滿足，由牛頓迭代法的收斂條件知當取初值為時迭代法收斂。
牛頓迭代格式為：
在第6部迭代後，迭代點得小數點後14位已無變化，故可取
雙點弦割法
雙點弦割法迭代格式為：
在第8部迭代後，迭代點得小數點後14位已無變化。
雙點弦割法
雙點弦割法迭代格式為：
以後，迭代點得小數點後11位已無變化，因收斂速度較慢，故只精確到小數點後11位
7．建立利用方程求的newton迭代格式，並討論演算法的收斂性。
解：牛頓迭代格式為：
令，因為當時，，，
故對於任何滿足，
即的初值，上述newton迭代產生的迭代序列收斂於。
8．建立利用方程求的newton迭代格式，並討論演算法的收斂性。
解：牛頓迭代格式為：
令，因為當時，，
故對於任何滿足，
即的初值，上述newton迭代產生的迭代序列收斂於。
9．判斷用newton迭代求解方程的收斂性。
解：由 ，
當時，，，，要使newton迭代法收斂對於初值，需滿足，顯然這樣得初值是不存在的，故當時，newton迭代法不收斂。
當時，同上的分析方法可得，初值也不存在的，故當時，newton迭代法也不收斂。
所以用newton迭代求解方程不收斂。
10．寫出求解方程的newton迭代格式並判斷以下情形的收斂性。
（1）； （2）； （3）。
解：牛頓迭代格式為：
解之得：
（1）當時，，，故迭代序列不收斂；
（2）當時，，，迭代序列收斂，但不收斂於方程的解；
（3）當時，，從而，，迭代序列收斂，且收斂於方程的解。
11．求分別用下列迭代格式求解方程時的收斂階。
（1）newton迭代格式；（2）迭代格式。
解：顯然，否則沒意義。
易知newton迭代格式收斂於，又
（1）newton迭代格式的收斂階為
（2）迭代格式
迭代格式的收斂階為
12．當初值取為下列各值時，用下山newton迭代求解方程組是否收斂？
若收斂，收斂於哪乙個根？
（12）
解：由下山newton迭代格式
習題三1．1分別用高斯消元法和列選主元法解方程組（精確到小數點後四位）：
解：高斯消元法：
=高斯列選主元消元法
2．分別用高斯消元法和列選主元法解方程組
解：高斯消元法
=列選主元法
3.方程組 ax=b 經過一次gauss消元後,係數矩陣a=, 變為,其中=為(n-1) (n-1)矩陣.其元素為
=-/, 2,3, n.
證明下面結論:（1）當a對稱正定時,也對稱正定;
（2）當a對角佔優時,也對角佔優.
證明:（1）因為a對稱,所以;
=-/==
故對稱;
a正定, ，又 =
其中: 顯然, 非奇異;對任何x, 有:
a正定正定;
又: = 而故正定;
(1) 當a對角佔優時,
故對角佔優
4.證明 (1)兩個單位上(下)三角形矩陣的乘積仍為單位上(下) 三角形矩陣;
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