數值分析
（p11頁）
4 試證：對任給初值x0, 求開方值的牛頓迭代公式
恆成立下列關係式：
證明：（1）
（2） 取初值，顯然有，對任意，
6 證明：
若有n位有效數字，則，
而必有2n位有效數字。
8 解：
此題的相對誤差限通常有兩種解法.
①根據本章中所給出的定理：
（設x的近似數可表示為，如果具有l位有效數字，則其相對誤差限為，其中為中第乙個非零數）
則，有兩位有效數字，相對誤差限為
，有兩位有效數字，相對誤差限為
，有兩位有效數字，其相對誤差限為：
②第二種方法直接根據相對誤差限的定義式求解
對於，其相對誤差限為
同理對於，有
對於，有
備註：（1）兩種方法均可得出相對誤差限，但第一種是對於所有具有n位有效數字的近似數都成立的正確結論，故他對誤差限的估計偏大，但計算略簡單些；而第二種方法給出較好的誤差限估計，但計算稍複雜。
（2）採用第二種方法時，分子為絕對誤差限，不是單純的對真實值與近似值差值的四捨五入，絕對誤差限大於或等於真實值與近似值的差。
11. 解:
， ，具有3位有效數字
，具有7位有效數字
9.解：有四捨五入法取準確值前幾位得到的近似值，必有幾位有效數字。
令, ,所對應的真實值分別為, ,，則
2.72＜0.00184
2.71828＜0.00000184
0.0718＜0.000697
12.解：
－= 1-cosx==2
≈1+x++…+-1=x++…+
13.解： -=
設=a， =b,則
習題一（54頁）
5.證明：
利用餘項表示式（11）（19頁），當為次數≤n的多項式時，由於=0，於是有=－=0,即=，表明其n次插值多項式就是它自身。
9.證明：
由第5題知，對於次數≤n的多項式，其n次插值多項式就是其自身。
於是對於=1，有=
即， ++=
則， ++=1
11.分析：
由於拉格朗日插值的誤差估計式為－=
誤差主要**於兩部分和。
對於同一函式討論其誤差，主要與有關。
在（1）中計算x=0.472的積分值，若用二次插值，需取三個節點，由於0.472在1，2兩個節點之間，所以應選1，2為節點，在剩下的兩個點中，與0.
472更靠近，所以此題應選, ,為節點來構造插值多項式。
15.證明：
由拉格朗日插值餘項公式有
由於==++
20.證明：
當n=1時， ==c·=c
假設當n=k時，結論成立，則有
= c；
= c；
那麼，當n=k+1時，
==c= c
證明完畢。（類似的方式可證明第乙個結論）
21.解：
由定理4（26頁）可知：
=,其中
當n>k時， ==0；
當n=k時， ==；
=13.解：
由題意知，給定插值點為
=0.32, =0.314567; =0.34, =0.333487; =0.36, =0.352274
由線性插值公式知線性插值函式為
=+=+
當x=0.3367時，
≈≈0.0519036+0.2784616≈0.330365
其截斷誤差為
其中=︱︱
0.333487
於是︱︱≤×0.333487×0.0167×0.0033≤0.92×
若用二次插值，則得
=++≈≈0.330374
其截斷誤差為
︱︱≤︱︱
其中=︱︱=︱︱=<0.950
於是︱︱≤×︱0.950×0.0167×0.0033×0.0233︱<0.204×
17解：
差商表為
一階差商二階差商三階差商四階差商五階差商
1 -3
2 0 3
3 15 15 6
4 48 33 9 1
5 105 57 12 1 0
6 192 87 15 1 00
由差商形式的牛頓插值公式，有
=＋＋ ＋
=-3＋3＋6＋
23題：
解：由於，則
設由，則所以24.解：
由於可設
由得，有：
所以26．解：由泰勒公式有設
其滿足， 其中
由，得代入(*)式既可得.
33.解： 由於，故在處有連續，即：
解得：34、解：首先確定求解過程中涉及到的一些引數值。
於是得到關於的方程組
三對角方程)
（追趕法）
解方程求出，代入
即得滿足題目要求的三次樣條函式
習題二 2.解：判斷此類題目，直接利用代數精度的定義
當時， 左 =
右 =，左 = 右
當時， 左 =
右 =，左 = 右
當時， 左 =
右 = ，左 = 右
當時， 左 =
右 = ，左右
所以求積公式的代數精度為2.
3.解： ⑴ 求積公式中含有三個待定引數，即：，因此令
求積公式對均準確成立，則有
解得：所求公式至少有2次代數精度。
又由於當時， 左 = 0
右 =當時， 左 =
右 =所以求積公式只有3次代數精度。
⑵、⑶類似方法得出結論。
6.解： 因要求構造的求積公式是插值型的，故其求積係數可表示為
故求積公式為：
下面驗證其代數精度：
當時，當時，當時，所以其代數精度為1。
7.證明：
⑴若求積公式⑷對和準確成立，則有
及所以求積公式對亦準確成立。
⑵次多項式可表示為
若公式⑷對是準確的， 則有7題中的上一步可知，其對亦成立。由代數精度定義可知， 其至少具有m次代數精度。
12. 解：
精確解為：1.609438
17 解：首先將區間[0，1]變換為[-1，1]，令，則
三點高斯公式為：
（高斯求積公式的節點與係數可查表得到，對於高斯求積公式，計算係數和節點十分困難）, 則則
數值計算方法課後習題答案
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