第一章數值計算中的誤差
1．什麼是計算方法？（狹**釋）
答：計算方法就是將所求的的數學問題簡化為一系列的算術運算和邏輯運算，以便在計算機上程式設計上機，求出問題的數值解，並對演算法的收斂性、穩定性和誤差進行分析、計算。
2．乙個實際問題利用計算機解決所採取的五個步驟是什麼？
答：乙個實際問題當利用計算機來解決時，應採取以下五個步驟：
實際問題→建立數學模型→構造數值演算法→程式設計上機→獲得近似結果
4．利用秦九韶演算法計算多項式在處的值，並程式設計獲得解。
解：，從而
所以，多項式在處的值。
5．敘述誤差的種類及**。
答：誤差的種類及**有如下四個方面：
（1）模型誤差：數學模型是對實際問題進行抽象，忽略一些次要因素簡化得到的，它是原始問題的近似，即使數學模型能求出準確解，也與實際問題的真解不同，我們把數學模型與實際問題之間存在的誤差稱為模型誤差。
（2）觀測誤差：在建模和具體運算過程中所用的一些原始資料往往都是通過觀測、實驗得來的，由於儀器的精密性，實驗手段的侷限性，周圍環境的變化以及人們的工作態度和能力等因素，而使資料必然帶有誤差，這種誤差稱為觀測誤差。
（3）截斷誤差：理論上的精確值往往要求用無限次的運算才能得到，而實際運算時只能用有限次運算的結果來近似，這樣引起的誤差稱為截斷誤差（或方法誤差）。
（4）捨入誤差：在數值計算過程中還會用到一些無窮小數，而計算機受機器字長的限制，它所能表示的資料只能是一定的有限數字，需要把資料按四捨五入成一定位數的近似的有理數來代替。這樣引起的誤差稱為捨入誤差。
6．掌握絕對誤差（限）和相對誤差（限）的定義公式。
答：設是某個量的精確值，是其近似值，則稱差為近似值的絕對誤差（簡稱誤差）。若存在乙個正數使，稱這個數為近似值的絕對誤差限（簡稱誤差限或精度）。
把絕對誤差與精確值之比稱為近似值的相對誤差，稱為近似值的相對誤差限，由於真值是未知的，所以常常用來表示相對誤差，於是相對誤差可以從絕對誤差求出。
7．近似值的規格化表示形式如何？
答：一般地，對於乙個精確值，其近似值的規格化形式為，其中，為正整數，為整數。
8．有效數字的概念是什麼？掌握有效數字與誤差的關係。
答：若近似值的（絕對）誤差限是它的某一位的半個單位，也就是說該近似值準確到這一位，且從該位起直到前面第乙個非零數字為止的所有數字都稱為有效數字。
若近似值的（絕對）誤差限為，則稱為具有位有效數字的有效數，或稱它精確到位，其中的每一位數字都是的有效數字。
設精確值的近似值的規格化形式為，若具有位有效數字，則其相對誤差限為；反之，若的相對誤差限為，則至少有位有效數字。
9．下列各數都是對真值進行四捨五入後獲得的近似值，試分別寫出它們的絕對誤差限，相對誤差限和有效數字的位數。
（1）（2）（3）（4） （5）；
解：（1）；；有三位有效數字。
（2）；；有四位有效數字。
（3）；；有四位有效數字。
（4）；；有五位有效數字。
（5）；；有六位有效數字。
10．為了使的相對誤差0.1%，問至少應取幾位有效數字？
解：由的首位數是4.設近似數有位有效數字，由定理4.1可知，相對誤差，解得，即取4位有效數字，近似數的相對誤差不超過0.1%。
11．已知，計算及，並求和的相對誤差。
解：12．寫出誤差估計的一般公式（以二元函式為例）。
解：二元函式的絕對誤差：
二元函式的相對誤差：
13．用電表測得乙個電阻兩端的電壓和流過的電流範圍分別為，，求這個電阻的阻值，並估算其絕對誤差和相對誤差。
解：，，又。所以：
。14．若，計算的近似值，並估計及其上界。
解：15．已測得某場地長為，寬的值為，已知，，試求面積的絕對誤差限和相對誤差限。
解：由,，，。可得：
。16．掌握二元函式的加、減、乘、除和開方運算的絕對誤差和相對誤差估計公式。
解：（1）加、減運算：
由於，所以
（2）乘法運算：
由於所以，從而
（3）除法運算：
由於，所以，
（4）乘方及開方運算：
由於，所以
17．求方程的兩個根，使它至少具有4位有效數字（）。
解： 19．求方程的較小正根，要求有3位有效數字。
解： 所以較小正根為。
20．設。
（1）證明：；
（2）給出乙個數值穩定的演算法，並證明演算法的穩定性。
（1）證明：
（2） 設，則
當無限大時，越小，所以該演算法穩定。
21．用遞推演算法計算積分，並驗證演算法的數值穩定性。
解： 設，則
所以該演算法是穩定的。
22．設計乙個計算的最小計算量的演算法。
解： 23．什麼是數值穩定的演算法？數值計算應遵循的六條規則是什麼？
答：乙個演算法如果原始資料有誤差（擾動），而計算過程中捨入誤差不增長或增長可以控制，則稱此演算法是數值穩定的。否則，稱此演算法是數值不穩定的。
數值計算應遵循的六條規則是：
（1） 選用數值穩定的演算法（計算公式）；
（2） 盡量避免兩個相近數相減；
（3） 盡量避免用絕對值很大的數作乘數；
（4） 盡量避免用絕對值很小的數作除數；
（5） 防止大數「吃掉」（或「淹沒」）小數（即合理安排運算順序）；
（6） 簡化計算步驟，減少運算次數。
第二章非線性方程的數值解法
1．敘述零點定理的內容。
答：設函式在閉區間上連續且，則存在使，即在區間內存在實的零點，稱區間為方程的有根區間。
2．方程求根的兩個步驟是什麼？確定方程有根區間的方法有哪些？
答：第一步確定方程的有根區間。
第二步近似根的精確化。
確定方程有根區間的方法有兩種：作圖法和逐步搜尋法。
3．利用作圖法確定方程的有根區間。
解：由於於是，在區間內至少有乙個根，取步長向右進行根的搜尋，即計算的值得到，從而，原方程的有根區間縮小為
4．利用逐步搜尋法確定方程的有根區間。
解：由於於是，方程在內至少有乙個實根，所以，從，取步長向右進行根的搜尋，即計算得到，從而，原方程的有根區間縮小為。
5．確定方程的有根區間。
解：由於函式的定義域為，用逐步搜尋法：由於，於是，方程在內至少有乙個實根，所以，從,取步長向右進行根的搜尋，即計算的值得到，從而原方程的有根區間縮小為
6．二分發的基本思想是什麼？
解：二分發的基本思想是將方程的有根區間逐步分半，通過判別在端點的符號以及零點定理來縮小有根區間，使在足夠小的區間內使方程有且僅有乙個根，並滿足給定的精度要求為止。
7．以方程的有根區間為為例，簡述二分法的具體作法。
解：第一步：將有根區間分半，用區間的中點將分為兩個相等區間，計算中點的函式值。
若，則就是方程的根；否則，若，由於在左半區間內不變號，所以方程的有根區間變為。同理，若，則方程的有根區間變為，從而將新的有根區間記為，且區間的長度僅為區間的一半，即。
第二步：對壓縮了的有根區間又可施行同樣的方法，即用中點將區間再分為兩半，然後通過根的搜尋判定所求的根位於哪半個區間，從而又確定乙個新的有根區間，該區間的長度是區間的一半。
如此反覆可得出一系列有根區間且具有關係，其中後乙個區間長是前乙個區間長的一半，因此區間的長度，當時，區間的長度必趨於零，即這些區間最終收縮於一點，顯然就是方程的根。
8．以方程的有根區間為，精度要求為，試寫出利用二分法求該方程的近似根所需二分次數的計算公式。
解：若事先給定的精度要求為，則只需，即，此時就是滿足給定精度要求的近似值，為二分法的次數。
9．用二分法求下列方程在給定的有限區間及精度要求下的近似值及二分次數（程式設計）
（1解：
（2解：
（3解：
（4解：
10．若應用二分法求方程在區間上誤差不超過的近似值，應二分多少次？
解：其近似根為，應分次。
11．迭代法的基本思想是什麼？
解：迭代法是一種逐次逼近法，首先給定方程的乙個粗糙的初始近似根，然後用乙個固定公式反覆校正這個根的近似值使之逐步精確化，直到滿足預先給定的精度要求為止。
12．迭代法的具體做法如何？
解：(1)將方程改寫成等價形式,在根的附近任取乙個初始近似根。
(2)構造近似根序列：將代入計算得到，一般，再把作為新的近似根代入得到，重複上述步驟即可。
13.迭代法的幾何意義是什麼？
答：方程的求根問題在幾何上就是確定曲線與直線交點的橫座標。設迭代初值為，曲線上以為橫座標的點為，為點的縱座標，過點引平行於軸的直線，並與直線相交於，其橫座標為，然後過點引平行線於軸的直線，並與曲線的交點記作，重複上述過程可得點列他們橫座標依次由迭代公式，所確定。
如果點列逐步逼近，則迭代過程收斂，否則迭代過程發散。
14．敘述迭代過程收斂定理的內容。
解：假設迭代函式滿足下列兩個條件
（1）對任意的有；
（2）存在正數，使對任意有。
則（1）對任意初值迭代過程均收斂於方程的根，即。
(2)誤差事後估計公式為。
15．試構造收斂的迭代公式求解下列方程：
（1）； （2）。
解：（1）將方程改寫為，從而得到迭代公式。
（2）將方程改寫為，從而得到迭代公式。
16．判斷迭代法解方程在內的根時所用的迭代過程的收斂性。
計算方法習題及答案
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