1. 什麼叫數值方法？數值方法的基本思想及其優劣的評價標準如何？
2. 試匯出計算積分的遞推計算公式，用此遞推公式計算積分的近似值並分析計算誤差，計算取三位有效數字。
解：此演算法是數值穩定的。
3. 試證明及
證明：（1）令即又
即 設，不妨設，
令即對任意非零，有
下面證明存在向量，使得，
設，取向量。其中。
顯然且任意分量為，
故有即證。
4. 已知
5. 已知矩陣，試計算a的譜半徑。
解： 6. 已知，試計算，，，
7. 8. 古代數學家祖沖之曾以作為圓周率的近似值，問此近似值具有多少位有效數字？
解： 該近似值具有7為有效數字。
9. 若t(h)逼近其精確值t的截斷誤差為
其中，係數與h無關。試證明由
所定義的t的逼近序列的誤差為，
其中諸是與h無關的常數。
證明：當m=0時
設m=k時等式成立，即
當m=k+1時
即證。1. 試構造迭代收斂的公式求解下列方程：
（1）; (2)。
解：（1）迭代公式，公式收斂
（2），， 區域性收斂
2. 方程在附近有根，把方程寫成三種不同的等價形式：
（1）,對應迭代公式;
（2），對應迭代公式;
（3）,對應迭代公式。
判斷以上三種迭代公式在的收斂性，選一種收斂公式求出附近的根到4位有效數字。
解：（1區域性收斂
（2區域性收斂
（3不是區域性收斂
迭代公式（1）：
迭代公式（2）：
3. 已知在[a,b]內有一根，在[a,b]上一階可微，且，試構造乙個區域性收斂於的迭代公式。
解：方程等價於
構造迭代公式
令由於在[a,b]上也一階可微
故上述迭代公式是有區域性收斂性.
4. 設在方程根的鄰近有連續的一階導數，且，證明迭代公式具有區域性收斂性。
證明：在鄰近有連續一階導數，則在附近連續，
令則取則時有
從而 故
令， 由定理2.1知，迭代公式是有區域性收斂性。
5. ，要使迭代法區域性收斂到，則的取值範圍是
6. 用牛頓法求方程在[3,4]中的根的近似值（精確到小數點後兩位）。
解：y次迭代公式
7. 試證用牛頓法求方程在[1,3]內的根是線性收斂的。解：令
y次迭代公式
故 從而，時，
故， 故牛頓迭代公式是線性收斂的
8. 應用牛頓法於方程, 匯出求立方根的迭代公式，並討論其收斂性。
解：相應的牛頓迭代公式為
迭代函式，，
則， 1. 設有方程組
(1) 考察用jacobi法，gauss-seidal法解此方程組的收斂性；
(2) 用jacobi法及gauss-seidal法解方程組，要求當時迭代終止。
解：（1） a是強對角佔優陣。
故用雅克比法及高斯-塞德爾法解此方程均收斂。
（2）雅克比法：
，，，取初始向量，迭代18次有（i=1,2,3）
，， 高斯-塞德爾法：
，， 取初始向量，迭代8次有（i=1,2,3）
，， 2. 設有方程組, ,
迭代公式： , .
求證由上述迭代公式產生的向量序列收斂的充要條件是.
證明：迭代公式中的矩陣，，
由迭代收斂的充要條件知即證。
3. 給定方程組，確定的取值範圍，使方程組對應的jacobi迭代收斂。
4. 用sor方法解下列方程組（取鬆馳因子）,要求.
.解：sor方法
故， 迭代初值
5. 給定線性方程組ax=b，其中，
1）求出使jacobi迭代法和g-s迭代法均收斂的的取值範圍。
2）當時，給出這兩種迭代法的收斂速度之比。
6. 用gauss消去法解方程組
7. 用選列主元高斯消去法求解方程組
解： 解得
8. 用追趕法解三角方程組
解：高斯迶元
回代得解為9. 用三角分解法求解方程組
解：係數矩陣三角分解為：
原方程可表為：
解得解 得
10. 用選主元法去法計算下列行列式的值.
解：11. 設計算.解：
12. 設方程組ax=，其中a=， =
1 計算，判斷方程組是否病態。
2 用全主元消元法求解，結果如何？
3 用105除第乙個方程所得方程組是否病態？
解：1 105+1 又
==（1+105）=〉〉1
該方程組是病態
2 用全主元消元法求解。=
=〉〉1
出現大數吃小數的現象，結果失真。
3 用105除第乙個方程得：a1=
， =方程組是良態的。
1. 給出概率積分
的資料表：試用二次插值計算.
解：取插值節點：
2. 已知y=sinx的函式表
試構造出差商表，利用二次newton插值公式計算sin(1.609)(保留5位小數)，並估計其誤差.
解：由題意得如下差商表
故又故： 3. 設為互異節點(),求證
(1)(2)證明： 令
又 所以故
原等式左邊用二項式展開得：
由結論得
即證4. 若，則
5. 若,求和.
解：6. 設為互異節點，為對應的5次lagrange插值基函式，則
7. 證明兩點三次hermite插值餘項是
證明：且 即為的二階零點
設 令易知 又
由微分中值定理（rolle定理），使得
進而有三個零點， 有兩個零點， 有乙個零點，
即使得得
8. 設是lagrange基函式，則。
9. 求乙個次數不超過4次的多項式，使它滿足
，並寫出其餘項表示式。
10. 求乙個四次插值多項式，使時，；而時，，並寫出插值餘項的表示式。
11. 構造適合下列資料表的三次樣條插值函式s(x)
解：已知
邊界條件即
計算方法習題集及答案
習題一1.什麼叫數值方法？數值方法的基本思想及其優劣的評價標準如何？數值方法是利用計算機求解數學問題近似解的方法 2.試證明及 證明 1 令即又 即 設，不妨設，令即對任意非零，有 下面證明存在向量，使得，設，取向量。其中。顯然且任意分量為，故有即證。3.古代數學家祖沖之曾以作為圓周率的近似值，問此...
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