計算方法2007-2008學年第一學期試題
1 填空（15分）
1） 設近似數，都是四捨五入得到的，則相對誤差______
2）擬合三點a(3,1), b(1,3)，c(2,2)的平行於軸的直線方程為_ ____.
3) 近似數關於真值有_ _為有效數字.
4） 插值型求積公式至少有______次代數精確度.
5) simpson(辛浦生)求積公式有______次代數精確度.
2. （10分）已知曲線與在點（1.6,6.9）附近相切，試用牛頓迭代法求切點橫座標的近似值，當誤差小於時停止迭代。
3．（10分）用最小二乘法確定中的常數和，使得該函式曲線擬合於下面四個點 (1，2.01), (2，7.3), (3,16.
9), (4,30.6) (計算結果保留到小數點後4位)
4.(10分) 用乘冪法求矩陣的按模最大的特徵值的第k次近似值及相應的特徵向量。要求取初始向量，且。
5．（10分）設有方程組
（1） 寫出與jacobi迭代法對應的gauss-seidel方法的迭代格式；
（2） jacobi方法的迭代矩陣為：
（3） 當引數a滿足什麼條件時，jacobi方法對任意的初始向量都收斂。
6．（10分）已知四階連續可導函式的如下資料：
試求滿足插值條件的三次插值多項式，並寫出截斷誤差的導數型表示式（不必證明）。
7．（15分）設有積分
1）取7個等距節點（包括端點1和2），列出被積函式在這些節點上的函式值表（小數點後至少保留4位）；
2）用復化simpson公式求該積分的近似值，並由截斷誤差公式估計誤差大小。
8．（10分）
給定初值問題
a) 寫出尤拉（euler）預估-校正的計算格式；
b) 取步長，求的近似值。
9．（10分）
用迭代法的思想證明：
等號左邊有k個2）。
2008 －2009 學年第2學期試題
1．（每小題3分，共15分）填空
（1） 個求積節點的插值型求積公式，其代數精確度至少為________次；
（2） 為提高數值計算精度，當正數充分小時，應將改寫為
（3） 擬合三點 a（0 ，1） ， b（1 ，3） ， c（2 ，2）的平行於軸的直線
方程為（4）求積公式有______次代數精確度；
（5）求方程的根的newton迭代格式是
2．（15分）曲線在點附近與軸相切於點，
試用newton迭代法求的近似值，使。
3．（10分）求一經過原點的拋物線，使其按最小二乘原理擬合於如下資料
並求平方逼近誤差.（運算結果小數點後至少保留4位）
解：（1）矛盾方程組為：
（2）正規方程組為：
（3）所求拋物線為：
（4）平方逼近誤差：
4．（10分）用乘冪法求矩陣的按模最大的特徵值的第次近似值及相應的特徵向量。要求取初始向量，且
。 解：乘冪法的計算格式為：
計算過程列表如下：
所以5（10分）試用三角分解求解線性方程組
（1）將係數矩陣進行三角分解：
（2）用三角分解法求該方程組的解：
6．（10分）已知四階連續可導函式的如下資料：
試求滿足插值條件
的三次插值多項式，並寫出截斷誤差
的導數型表示式(不必證明)。
7．（15分）若用復化simpson公式求積分的近似值，為使該近似值有4位
有效數字，問至少應知道多少個結點的值？並由此求的近似值.
（小數點後至少取4位）.
解:（1）復化simpson公式的截斷誤差為:
（2）計算所需要的節點數目：
（3）按（2）中的節點數計算。
8．（10分）給定初值問題
（1）寫出尤拉(euler)預估- 校正法的計算格式。
（2）取步長=0.1，求的近似值（小數點後至少保留4位）。
9．（5分）設在有二階連續導數，試建立如下數值積分公式
並證明有餘項表示式.
07/08第一學期試題參***： 1: (1)6.78×10－5, (2) x=2 (3) 2 （4）n-2 (5) 3
2. 切線斜率相等：，
牛頓迭代格式：
取，得3. 矛盾方程組：
正則方程組：
4. 取初始向量，用乘冪法公式進行計算，且取，得
， 5.(1)迭代格式為
(2)jacobi迭代法的迭代矩陣為
(3譜半徑.由得
此時jacobi迭代法對任意初始向量都收斂.
6. 7．20.2174
8．（1）euler預-校法的計算格式為
（2）將代入，則
代入得，
9．證明考慮迭代格式，則
，，…，（k個2）
設，則當x[0,2]時，(x) [(0),(2)]= [0,2]；
由，則當x[0,2]時，．
所以，由迭代格式產生的序列收斂於方程在[0,2]內的根．
設，則有，即．解之得．捨去不合題意的負根，有，即
08/09第二學期試題參***：
1.略2．在切點處, 曲線與直線的切線斜率必相等
newton迭代法
由計算得
, , ,
顯然已滿足誤差要求, 即有.
3．由題意知，擬合函式為，基函式為，相應的正規方程組為
亦即由此解得. 由平方誤差的定義算得平方誤差
由平方誤差公式.
4． ，
5．解由矩陣doolittle分解的緊湊記錄形式有
回代求解得
, ，方程組的解向量為.
6．滿足插值條件
的3次插值多項式.造重節點差商表:
由newton插值公式得
7．由於 ，要使積分近似值具有4位有效數字，即截斷誤差應滿足
而，要使上式成立，只需
將代入得到
取，這樣復化simpson公式共需要個求積節點.
計算資料列於表中
積分值8．euler預-校法的計算格式為
將代入，則
代入得，
9. 解對於，由taylor公式
， ，得到表示式
對上式兩端積分，計算得到
這樣得到數值求積公式
以及求積餘項
餘項中的兩項均滿足第二積分中值定理條件，於是有
因二階導函式連續，利用介值定理，存在介於和間的點，使得有
結合以上兩式，有求積餘項
計算方法及答案
計算方法 練習題一 1 填空題 1 的近似值3.1428，準確數字是 2 滿足的插值餘項 3 設為勒讓德多項式，則 4 乘冪法是求實方陣 特徵值與特徵向量的迭代法。5 尤拉法的絕對穩定實區間是 6 具有3位有效數字的近似值是 7 用辛卜生公式計算積分 8 設第列主元為，則 9 已知，則 10 已知迭...
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