第一章緒論
一. 填空題
1. 為精確值的近似值；為一元函式的近似值；為二元函式的近似值，請寫出下面的公式：：
1、 2、 計算方法實際計算時，對資料只能取有限位表示，這時所產生的誤差叫捨入誤差 。
3、 分別用2.718281，2.718282作數e的近似值，則其有效數字分別有 6 位和 7 位；又取（三位有效數字），則。
4、 設均具有3位有效數字，則的相對誤差限為 0.0055 。
5、 設均具有3位有效數字，則的誤差限為 0.01 。
6、 已知近似值是由真值經四捨五入得到,則相對誤差限為 0.000021 .
7、 遞推公式如果取作計算,則計算到時,誤差為;這個計算公式數值穩定不穩定不穩定 .
8、 精確值，則近似值和分別有 3 位和 4 位有效數字。
9、 若,則x有 6 位有效數字，其絕對誤差限為1/2*10-5 。
10、 設x*的相對誤差為2％，求(x*)n的相對誤差0.02n
二、計算題
1. 有乙個長方形水池,由測量知長為(50±0.01)公尺,寬為(25±0.
01)公尺,深為(20±0.01)公尺,試按所給資料求出該水池的容積,並分析所得近似值的絕對誤差和相對誤差公式,並求出絕對誤差限和相對誤差限.
解：設長方形水池的長為l，寬為w,深為h，則該水池的面積為
當l=50,w=25,h=20時，有 v=50*25*20=25000(公尺3)
此時，該近似值的絕對誤差可估計為
相對誤差可估計為：
而已知該水池的長、寬和高的資料的絕對誤差滿足
故求得該水池容積的絕對誤差限和相對誤差限分別為
2.已知測量某長方形場地的長a=110公尺,寬b=80公尺.若
試求其面積的絕對誤差限和相對誤差限.
解：設長方形的面積為
當a=110,b=80時，有 s==110*80=8800(公尺2)
此時，該近似值的絕對誤差可估計為
相對誤差可估計為：
而已知長方形長、寬的資料的絕對誤差滿足
故求得該長方形的絕對誤差限和相對誤差限分別為
絕對誤差限為19.0；相對誤差限為0.002159。
3、設x*的相對誤差為2％，求(x*)n的相對誤差
4、計算球體積要使相對誤差為1%，問度量半徑r允許的相對誤差限是多少？
解：令，根據一元函式相對誤差估計公式，得
從而得5.正方形的邊長大約為100cm，問怎樣測量才能使面積的誤差不超過1cm2
解：da=ds/(2a)=1cm2/(2*100)cm=0.5*10-2cm,即邊長a的誤差不超過0.005cm時，才能保證其面積誤差不超過1平方厘公尺。
6．假設測得乙個圓柱體容器的底面半徑和高分別為50.00m和100.00m，且已知其測量誤差為0.005m。試估計由此算得的容積的絕對誤差和相對誤差。
解： =2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325
=2=0.0002
第二章插值法一、問答題
1.什麼是lagrange插值基函式?它們有什麼特性？
答：插值基函式是滿足插值條件的n次插值多項式，它可表示為並有以下性質，
2.給定插值點可分別構造lagrange插值多項式和newton插值多項式，它們是否相同？為什麼?它們各有何優點？
答：給定插值點後構造的lagrange多項式為 newton插值多項式為它們形式不同但都滿足條件,於是它表明n次多項式有n+1個零點，這與n次多項式只有n個零點矛盾，故即與是相同的。 是用基函式表達的，便於研究方法的穩定性和收斂性等理論研究和應用，但不便於計算，而每增加乙個插值點就增加一項前面計算都有效，因此較適合於計算。
3.hermite插值與lagrange插值公式的構造與餘項表示式有何異同？
答：hermite插值的插值點除滿足函式值條件外還有導數值條件比lagrange插值復什一些，但它們都用基函式方法構造，餘項表示式也相似，對lagrange插值餘項表示式為，而hermite插值餘項在有條件的點看作重節點，多乙個條件相當於多一點，若一共有m+1個條件，則餘項中前面因子為後面相因子改為即可得到hermite插值餘項。
二、填空題
1.設xi(i=0,1,2,3,4)為互異節點，li(x)為相應的四次插值基函式，則＝(x4+2).
2.設xi(i=0,1,2,3,4，5)為互異節點，li(x)為相應的五次插值基函式，則=
3.已知
4.。5.設則＝3, =0
6.設和節點則= 4.
7.設則的二次牛頓插值多項式為 0+16(x-0)+7(x-0)(x-1) 。
8.如有下列表函式:
則一次差商= 0.6 。
二、計算題
1、設,求差商
解：，故
根據差商的性質，得
2、求滿足下列條件的埃爾公尺特插值多項式:
解：根據已知條件可求得
代入埃爾公尺特三次插值多項式公式
3、如有下列表函式:
試計算此列表函式的差分表,並給出它的牛頓插值多項式及餘項公式.
解：查分表如下：
n4(x)=3+3(x-0)+1*(x-0)(x-1)=x2+2x+3,0≤x≤1
4、給出的函式表如下：
試用線性插值和拋物插值求的近似值。
5．已知
請依據上述資料求f(x)的2次lagrange插值多項式。
6.用插值法求滿足以下條件的不超過三次的插值多項式
f(0)=1,f(1)=2,f (2)=9,f』(1)=3,並寫出插值餘項
解：根據lagrange插值多項式和newton插值多項式得出
設待插值函式為：
根據得引數則
插值餘項為：
第三章數值積分
一、問答題
1.什麼是求積公式的代數精確度？如何利用代數精確度的概念去確定求積公式中的待定引數？
答：乙個求積公式如果當為任意m次多項式時，求積公式精確成立，而當為次數大於m次多項式時，它不精確成立，則稱此求積公式具有m次代數精確度。根據定義只要令代入求積公式兩端，公式成立，得含待定引數的m+1個方程的方程組，這裡m+1為待定引數個數，解此方程組則為所求。
二、填空題
1.求，利用梯形公式的計算結果為 2.5 ，利用辛卜生公式的計算結果為2.333 。
2． n次插值型求積公式至少具有 n 次代數精度，如果n為偶數，則有 n+1 次代數精度。
3． 梯形公式具有1次代數精度，simpson公式有 3 次代數精度。
4.插值型求積公式的求積係數之和 b-a 。
5、確定下列求積公式中的待定引數，使其代數精確度盡量高，並指明求積公式所具有的代數精確度.
(1)解：本題直接利用求積公式精確度定義，則可突出求積公式的引數。
令代入公式兩端並使其相等，得
解此方程組得，於是有
再令，得
故求積公式具有3次代數精確度。
（2）（3）
解：令代入公式精確成立，得
解得，得求積公式
對 故求積公式具有2次代數精確度。
6.求積公式，已知其餘項表示式為，試確定係數，使該求積公式具有盡可能高的代數精度，並給出代數精度的次數及求積公式餘項。
7.根據下面給出的函式的資料表，分別用復合梯形公式和復合辛甫生公式
計算解用復合梯形公式,這裡n=8, ,
用復合辛甫生公式: 這裡n=4,.可得
第五章常微分方程
一、計算題
1.用改進尤拉方法計算初值問題，取步長h=0.1計算到y5。
解：改進的尤拉公式
代入2. 用梯形法解初值問題取步長h=0.1,計算到x=0.5，並與準確解相比較
解：用梯形法求解公式，得
解得精確解為
3．用改進的euler法解初值問題；取步長h=0.1計算，並與精確解相比較。(計算結果保留到小數點後4位)
解：改進的尤拉公式為：
代入和，有
代入資料，計算結果如下：
4.設初值問題，
a) 由euler方法、取步長h=0.1寫出表示上述初值問題數值解的公式；
b) 由改進euler方法、取步長h=0.1寫出上述初值問題數值解的公式。
解：a）根據euler公式：
3分b）根據改進euler公式： 5分
5.設初值問題，
a) 寫出由euler方法、取步長h=0.1解上述初值問題數值解的公式；
b) 寫出由改進euler方法、取步長h=0.1解上述初值問題數值解的公式。
解：a）根據euler公式：
b）根據改進euler公式：
第六章方程求根
一、問答題
1.什麼是不動點？如何構造收斂的不動點迭代函式？
答：將方程改寫為若使則稱點為不動點而就是不動點的迭代函式，迭代函式可以有很多，但必須使構造的滿足條件
（1）（2）若已知，且時也收斂，稱為區域性收斂。
2.對於迭代法初始近似，當時為什麼還不能斷定迭代法收斂？
答：迭代法是否收斂一定要按收斂定理的條件判斷，定理6.1是全域性收斂性，需要在包含的區間上證明且才能說明由出是迭代法收斂
如果用區域性收斂定理6.2，則要知道不動點為才可由證明其收斂性，由還不能說明迭代法收斂。
3.怎樣判斷迭代法收斂的快慢？乙個迭代公式要達到p階收斂需要什麼條件？
答：衡量迭代法快慢要看收斂階p的大小，若序列收斂於，記為若存在及，使則稱序列為p階收斂，p越大收斂越快，當p＝1，則越小，收斂越快。乙個迭代公式若為的不動點，p為大於1的整數，在連續，且而則此迭代公式為p階收斂。
4.方程求根的newton法是如何推出的？它在單根附近幾階收斂？在重根附近是幾階收斂？
答：用曲線在點上的切線的零點近似曲線零點得到就是newton法，在單根附近2階收斂，當為重根時是線性收斂。
計算方法習題答案
第一章數值計算中的誤差 1 什麼是計算方法？狹 釋 答 計算方法就是將所求的的數學問題簡化為一系列的算術運算和邏輯運算，以便在計算機上程式設計上機，求出問題的數值解，並對演算法的收斂性 穩定性和誤差進行分析 計算。2 乙個實際問題利用計算機解決所採取的五個步驟是什麼？答 乙個實際問題當利用計算機來解...
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習題一1.什麼叫數值方法？數值方法的基本思想及其優劣的評價標準如何？數值方法是利用計算機求解數學問題近似解的方法 2.試證明及 證明 1 令即又 即 設，不妨設，令即對任意非零，有 下面證明存在向量，使得，設，取向量。其中。顯然且任意分量為，故有即證。3.古代數學家祖沖之曾以作為圓周率的近似值，問此...
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