(一)考核知識點
誤差的**型別；絕對誤差和絕對誤差限，相對誤差和相對誤差限，有效數字；絕對誤差的傳播。
(二)複習要求
1.知道產生誤差的主要**。
2.了解絕對誤差和絕對誤差限、相對誤差和相對誤差限和有效數字等概念以及它們之間的關係。
3.知道四則運算中的誤差傳播公式。
一、重點內容
乙個物理量的真實值和我們算出的值往往不相等，其差稱為誤差。引起誤差的原因是多方面的，主要有：模型誤差，觀測誤差，截斷誤差，捨入誤差。在計算方法中主要討論的是截斷誤差和捨入誤差。
誤差：設精確值x*的近似值為x，差e＝x－x*稱為近似值x的誤差(絕對誤差)。
誤差限近似值x的誤差限是誤差e的乙個上界，即|e|＝|x－x*|≤ε。
相對誤差er是誤差e與精確值x*的比值，。常用計算。
相對誤差限是相對誤差的最大限度，，常用計算相對誤差限。
有效數字如果近似值x的誤差限ε是它某乙個數字的半個單位，我們就說x準確到該位。從這一位起到前面第乙個非0數字為止的所有數字稱為x的有效數字。
二、難點內容
(1)設精確值x*的近似值x，x＝±0.a1a2…an×10m，a1，a2，…，an是0～9之中的自然數，且a1≠0，|x－x*|≤ε＝0.5×10m－l，1≤l≤n。
則x有l位有效數字。
(2)設近似值x＝±0.a1a2…an×10m有n位有效數字，則其相對誤差限
(3)設近似值x＝±0.a1a2…an×10m的相對誤差限不大於則它至少有n位有效數字。
(4)要求精確到10－3，取該數的近似值應保留4位小數。
三、例題
例1設x*==3.1415926…
近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的誤差是0.
0015926…，有，即n=3，故x=3.14有3為有效數字。x=3.
14準確到小數點後第2位。
近似值x=3.1416，它的誤差是0.0000074…，有，即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效數字。
近似值x=3.1415，它的誤差是0.0000926…，有
即m=1，n＝4，x=3.1415有4位有效數字。
這就是說某數有s位數，若末位數字是四捨五入得到的，那麼該數有s位有效數字；若末位數字不是四捨五入得到的，那麼該數有s位或s－1位有效數字。
例2指出下列各數具有幾位有效數字，及其絕對誤差限和相對誤差限：
2.00040.0020090009000.00
解因為x1=2.0004＝0.20004×101,它的誤差限0.00005=0.5×101―5，即m=1,n=5,故x=2.0004有5位有效數字.相對誤差限
x2=－0.00200，誤差限0.000005，因為m=－2，n=3，x2=－0.00200有3位有效數字。
相對誤差限r=0.00005/0.00200=0.25%。
x3=9000，絕對誤差限為0.5，因為m=4,n=4,x3=9000有4位有效數字，相對誤差限
r＝0.5/9000=0.0056%
x4=9000.00，絕對誤差限0.005，因為m=4，n=6，x4=9000.00有6位有效數字，相對誤差限為r=0.005/9000.00=0.000056%
由x3與x4可以看到小數點之後的0，不是可有可無的，它是有實際意義的。
例3ln2=0.69314718…，精確到10－3的近似值是多少？
解精確到10－3＝0.001，即絕對誤差限是＝0.05,故至少要保留小數點後三位才可以。ln20.693。
例4如何去設計乙個好的演算法？
答：乙個好的演算法必須滿足：1、計算步驟簡化以減少運算次數及誤差積累；2、避免兩個相同號數數值相近的數相減；3、計算若干同號數時的和,按絕對值增大的順序相加；4、避免乘除法中數值絕對值過大或過小；5、防止大數吃掉小數；6、選用數值穩定性好的演算法。
四、練習題
1.設某數x*，它的保留三位有效數字的近似值的絕對誤差是
2.設某數x*,它的精確到10－4的近似值應取小數點後____位。
3.()的3位有效數字是0.236×102。
(a)235.54×10－1(b)235.418(c)2354.82×10－2(d)0.0023549×103
4.設a*=2.718181828…，取a=2.718,則有(),稱a有四位有效數字。
(a) (b) (c) (d)
5.設某數x*,對其進行四捨五入的近似值是(),則它有3位有效數字，絕對誤差限是。
(a)0.315 (b)0.03150 (c)0.0315 (d)0.00315
6.以下近似值中，保留四位有效數字，相對誤差限為。
(a)0.01234 (b)–12.34 (c)–2.20 (d)0.2200
五、練習題答案
該數有效數字第四位的一半。2.四 3.(a) 4.(b) 5.(c) 6.(d)
(一) 考核知識點
二分法；迭代法――牛頓法；弦截法。
(二)複習要求
1.知道有根區間概念，方程f(x)=0在區間(a,b)有根的充分條件。
2.掌握方程求根的二分法；二分法及二分次數公式，迭代法及其收斂性。
3.熟練掌握牛頓法，掌握初始值的選擇條件。
4.掌握弦截法。
一、重點內容
1.二分法:設方程f(x)＝0在區間[a，b]內有根，用二分有根區間的方法，得到有根區間序列：x*≈xn=(a0＝a，b0＝b)，n＝0，1，2，…
有誤差估計式：x*－xn≤，n＝0，1，2，…，二分區間次數：
2.牛頓法：用切線與x軸的交點，逼近曲線f(x)與x軸的交點。迭代公式為
（n＝1，2，…），選初始值x0滿足f(x0)f(x0)＞0，迭代解數列一定收斂。
3.弦截法:用兩點連線與x軸交點逼近曲線f(x)與x軸的交點。迭代公式為
(n＝1，2，…)
二、難點內容：
（1）、迭代法概念:若方程f(x)＝0表成x＝(x)，於是有迭代格式：xn＝(xn－1)（n＝1，2，…），，x*≈xn，存在0＜＜1,|(x)|，在區間[a,b]內任一點為初始值進行迭代，迭代數列收斂。
（2）定理一：設在區間【a,b】上具有一階連續的導數，且滿足如下兩個條件：①當時，；②存在正常數l<1，使得對任意有。則
1 方程f(x)=0在區間【a,b】上有唯一根；
2 對任意，迭代格式x＝(x)收斂，且；
（3）定理二：設方程f(x)=0在區間【a,b】內有根x*,且當時，，則對任意初始值，且，迭代格式x＝(x)發散。
(4)定理三（區域性收斂）：設方程x＝(x)有根x*,且在x*的某個鄰域內(x)存在一階連續的導數，則①當時，迭代公式區域性收斂；②當時，迭代公式發散。
(5)迭代序列收斂階的概念
若存在0＜＜1，|(x)|，在區間[a,b]內任一點為初始值進行迭代，迭代數列收斂。設迭代序列收斂於，如果存在實數與正常數c，使得,則稱序列是階收斂於。特別地，當時，稱序列為線性（一次）收斂；為線性收斂時，必須要求。
當時，稱序列為平方（二次）收斂；當時，稱序列為超線性收斂；收斂階越大，則序列與的誤差縮減越快，也就是序列收斂越快。
(6)定理四：若(x)在x*附近的某個鄰域內有階連續導數，且，且對乙個任意靠近x*的初始值，迭代公式是p階收斂的。
三、例題
例1證明方程1－x－sinx＝0在區間[0,1]內有乙個根，使用二分法求誤差不超過0.5×10－4的根要迭代多少次？
證明令f(x)＝1－x－sinx， ∵f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0 ∴f(x)=1－x－sinx=0在[0，1]有根。
又f(x)=-1－cosx<0(x[0.1]),故f(x)＝0在區間[0，1]內有唯一實根。
給定誤差限＝0.5×10－4，有
，只要取n＝14。
例2用迭代法求方程x5－4x－2＝0的最小正根，計算過程保留4位小數。
[分析]容易判斷[1，2]是方程的有根區間。
若建立迭代格式，此時迭代發散。
建立迭代格式，此時迭代收斂。
解建立迭代格式，，
，，，，，。取1.5185。
例3試建立計算的牛頓迭代格式，並求的近似值，要求迭代誤差不超過10－6。
計算方法習題集及答案
習題一1.什麼叫數值方法？數值方法的基本思想及其優劣的評價標準如何？數值方法是利用計算機求解數學問題近似解的方法 2.試證明及 證明 1 令即又 即 設，不妨設，令即對任意非零，有 下面證明存在向量，使得，設，取向量。其中。顯然且任意分量為，故有即證。3.古代數學家祖沖之曾以作為圓周率的近似值，問此...
計算方法習題集及答案
1.什麼叫數值方法？數值方法的基本思想及其優劣的評價標準如何？2.試匯出計算積分的遞推計算公式，用此遞推公式計算積分的近似值並分析計算誤差，計算取三位有效數字。解 此演算法是數值穩定的。3.試證明及 證明 1 令即又 即 設，不妨設，令即對任意非零，有 下面證明存在向量，使得，設，取向量。其中。顯然...
《煤礦開採方法》習題集
第一章井田開拓基本知識 一 概念 1 煤田 在地質歷史發展的過程中，含碳物質沉積形成的基本連續的大面積含煤地帶。2 礦區 開發煤田形成的社會區域。3 礦區開發 礦區根據煤炭儲量 賦存條件 煤炭市場需求量和投資環境等情況，確定礦區規模，劃分井田，規劃井田開採方式，規劃礦井或露天礦建設順序，確定礦區附屬...