第一章緒論（12）
1、設，x的相對誤差為，求的誤差。
[解]設為x的近似值，則有相對誤差為，絕對誤差為，從而的誤差為，
相對誤差為。
2、設x的相對誤差為2%，求的相對誤差。
[解]設為x的近似值，則有相對誤差為，絕對誤差為，從而的誤差為，
相對誤差為。
3、下列各數都是經過四捨五入得到的近似數，即誤差不超過最後一位的半個單位，試指出它們是幾位有效數字：
，，，，。
[解]有5位有效數字；有2位有效數字；有4位有效數字；有5位有效數字；有2位有效數字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的誤差限，其中均為第3題所給的數。
（1）；
[解]；
（2）；
[解]；
（3）。
[解]。
5、計算球體積要使相對誤差限為1%，問度量半徑r允許的相對誤差是多少？
[解]由可知，
，從而，故。
6、設，按遞推公式計算到，若取（五位有效數字，）試問計算將有多大誤差？
[解]令表示的近似值，，則，並且由
，可知，
，即，從而，
而，所以。
7、求方程的兩個根，使它至少具有四位有效數字（）
[解]由與（五位有效數字）可知，
（五位有效數字）。
而，只有兩位有效數字，不符合題意。
但是。8、當n充分大時，怎樣求？
[解]因為，當n充分大時為兩個相近數相減，設，，則，，從而
，因此。
9、正方形的邊長大約為100cm，應怎樣測量才能使其面積誤差不超過1?
[解]由可知，若要求，則，即邊長應滿足。
10、設，假定g是準確的，而對t的測量有秒的誤差，證明當t增加時s的絕對誤差增加，而相對誤差卻減少。
[證明]因為，
，所以得證。
11、序列滿足遞推關係，若（三位有效數字），計算到時誤差有多大？這個計算過程穩定嗎？
[解]設為的近似值，，則由與
可知，，，即
，從而，因此計算過程不穩定。
12、計算，取，利用下列公式計算，哪乙個得到的結果最好？，，，。
[解]因為，所以對於，
，有一位有效數字；
對於，，沒有有效數字；
對於，，有一位有效數字；
對於，，沒有有效數字。
13、，求的值。若開平方用六位函式表，問求對數時誤差有多大？若改用另一等價公式計算，求對數時誤差有多大？
[解]因為（六位有效數字），，所以，。
14、試用消元法解方程組，假定只有三位數計算，問結果是否可靠？
[解]精確解為。當使用三位數運算時，得到，結果可靠。
15、已知三角形面積，其中c為弧度，，且測量a，b，c的誤差分別為，證明面積的誤差滿足。
[解]因為，
所以。第二章插值法（40-42）
1、根據（2.2）定義的範德蒙行列式，令
，證明是n次多項式，它的根是，且。
[證明]由可得求證。
2、當時，，求的二次插值多項式。
[解]。
3、給出的數值錶用線性插值及二次插值計算的近似值。
[解]若取，，
則，，則
，從而。
若取，，，則，
，，則，
從而。4、給出的函式表，步長，若函式具有5位有效數字，研究用線性插值求近似值時的總誤差界。
[解]設插值節點為，對應的值為，函式錶值為，則由題意可知，，，近似線性插值多項式為，所以總誤差為
，從而。
5、設，求。
[解]。
令，則，從而極值點可能為
，又因為，，
顯然，所以
。6、設為互異節點，求證：
1）；2）；
[解]1）因為左側是的n階拉格朗日多項式，所以求證成立。
2）設，則左側是的n階拉格朗日多項式，令，即得求證。
7、設且，求證。
[解]見補充題3，其中取即得。
8、在上給出的等距節點函式表，若用二次插值求的近似值，要使截斷誤差不超過，問使用函式表的步長h應取多少？
[解]由題意可知，設x使用節點，，進行二次插值，則插值餘項為，
令，則，從而的極值點為，故，而
，要使其不超過，則有
，即。9、若，求及。
[解]。
。10、如果是m次多項式，記，證明的k階差分是次多項式，並且（l為正整數）。
[證明]對k使用數學歸納法可證。
11、證明。
[證明]。
12、證明。
[證明]因為
，故得證。
13、證明：。
[證明]。
14、若有n個不同實根，證明
。[證明]由題意可設，故
，再由差商的性質1和3可知：
，從而得證。
15、證明n階均差有下列性質：
1）若，則；
2）若，則。
[證明]1）。
2）。16、，求，。
[解]，。
17、證明兩點三次埃爾公尺特插值餘項是
，並由此求出分段三次埃爾公尺特插值的誤差限。
[解]見p30與p33，誤差限為。
18、*********x．
19、求乙個次數不高於4次的多項式，使它滿足，，。
[解]設，則，再由，，可得：
解得。從而
。20、設，把分為n等分，試構造乙個台階形的零次分段插值函式，並證明當時，在上一致收斂到。
[解]令。
21、設，在上取，按等距節點求分段線性插值函式，計算各節點中點處的與的值，並估計誤差。
[解]由題意可知，，從而當時，
。22、求在上的分段線性插值函式，並估計誤差。
[解]設將劃分為長度為h的小區間，則當，時，
從而誤差為，
故。23、求在上的分段埃爾公尺特插值，並估計誤差。
[解]設將劃分為長度為h的小區間，則當，時，
，從而誤差為，
故。24、給定資料表如下：
試求三次樣條函式，並滿足條件：
1）；2）。
[解]由，，，，及（8.10）式可知，，，，，，
，由（8.11）式可知，。。
。從而1）矩陣形式為：，解得
，從而。
2）此為自然邊界條件，故；，
矩陣形式為：，可以解得，從而。
25、若，是三次樣條函式，證明
1）；2）若，式中為插值節點，且
則。[解]1）。
2）由題意可知，，所以
。補充題：1、令，，寫出的一次插值多項式，並估計插值餘項。
[解]由，可知，
，餘項為，
故。2、設，試利用拉格朗日插值餘項定理寫出以為插值節點的三次插值多項式。
[解]由插值餘項定理，有
，從而。
3、設在內有二階連續導數，求證：
。[證]因為是以a，b為插值節點的的線性插值多項式，利用插值多項式的餘項定理，得到：
，從而。
4、設，求差商，，和。
[解]因為，，
，所以，，，，。
5、給定資料表：，
求4次牛頓插值多項式，並寫出插值餘項。
[解]由差商表可得4次牛頓插值多項式為：
，插值餘項為
。6、如下表給定函式：，
試計算出此列表函式的差分表，並利用牛頓向前插值公式給出它的插值多項式。
[解]構造差分表：
由差分表可得插值多項式為：。
第三章函式逼近與計算（80-82）
1、（a）利用區間變換推出區間為的伯恩斯坦多項式；
（b）對在上求1次和3次伯恩斯坦多項式並畫出圖形，並與相應的馬克勞林級數部分和誤差做出比較。
[解]（a）令，則，從而伯恩斯坦多項式為
，其中。
（b）令，則，從而伯恩斯坦多項式為
，其中。；。
2、求證：（a）當時，；
（b）當時，。
[證明]（a）由及可知，
，而，從而得證。
（b）當時，
。3、在次數不超過6的多項式中，求在的最佳一致逼近多項式。
[解]由可知，，從而最小偏差為1，交錯點為，此即為的切比雪夫交錯點組，從而是以這些點為插值節點的拉格朗日多項式，可得。
4、假設在上連續，求的零次最佳一致逼近多項式。
[解]令，，則在上具有最小偏差，從而為零次最佳逼近一次多項式。
5、選擇常數a，使得達到極小，又問這個解是否唯一？
[解]因為是奇函式，所以，再由定理7可知，當時，即時，偏差最小。
6、求在上的最佳一次逼近多項式，並估計誤差。
[解]由可得，從而最佳一次逼近多項式為
7、求在上的最佳一次逼近多項式。
[解]由可得，從而最佳一次逼近多項式為
。8、如何選取r，使在上與零偏差最小？r是否唯一？
[解]由，可知當與零偏差最小時，，從而。
另解：由定理7可知，在上與零偏差最小的二次多項式為，從而。
9、設，在上求三次最佳逼近多項式。
[解]設所求三次多項式為，則由定理7可知
，從而。
10、令，求、、、。
[解]由可知，令，則
，從而。
11、試證是在上帶權的正交多項式。？
12、在上利用插值極小化求的三次近似最佳逼近多項式。
[解]由題意可知，插值節點為，
即，則可求得。
13、設在上的插值極小化近似最佳逼近多項式為，若有界，證明對任何，存在常數，使得
。[證明]由題意可知，，從而取
，，則可得求證。
14、設在上，試將降低到3次多項式並估計誤差。
[解]因為，，所以
，誤差為。
15、在利用冪級數項數節約求的3次逼近多項式，使誤差不超過0.005。
[解]因為，取前三項，得到
，誤差為，又因為
，所以3次逼近多項式為
，此時誤差為
。16、是上的連續奇（偶）函式，證明不管n是奇數或偶數，的最佳逼近多項式也是奇（偶）函式。
[解]的最佳逼近多項式是由切比雪夫多項式得到的，再由切比雪夫多項式的性質4即得。
17、求a、b使為最小，並與1題及6題的一次逼近多項式誤差作比較。
[解]由，，，，
，可得，解得。
18、，定義
（a）；（b）。
問它們是否構成內積？
[解]（a）因為，但反之不成立，所以不構成內積。
（b）構成內積。
19、用許瓦茲不等式（4.5）估計的上界，並用積分中值定理估計同一積分的上下界，並比較其結果。
[解]。
因為，所以。
20、選擇a，使下列積分取最小值：，。
[解]，從而。
當時，，當時，由，可得交點為，
若，則，
若，則。同理可知，當時，，當時，，從而當時，積分取得最小。
21、設，，分別在上求一元素，使其為的最佳平方逼近，並比較其結果。
[解]由，，，可知，
，解得，即在上為。
由，，，
，可知，
，解得，即在上為。
22、在上，求在上的最佳平方逼近。
[解]由，，
可知，，解得。
從而最佳平方逼近多項式為。
23、是第二類切比雪夫多項式，證明它有遞推關係
。[證明]令，則
。24、將在上按勒讓德多項式及切比雪夫多項式展開，求三次最佳平方逼近多項式並畫出誤差圖形，再計算均方誤差。
[解]若按照切比雪夫多項式展開，其中
；若按照勒讓德多項式展開，
，其中；從而；；
；，從而三次最佳逼近多項式為
。25、把在上展成切比雪夫級數。
[解]若按照切比雪夫多項式展開，其中
。從而。
數值計算方法課後習題答案
第一章緒論 12 1 設，x的相對誤差為，求的誤差。解 設為x的近似值，則有相對誤差為，絕對誤差為，從而的誤差為，相對誤差為。2 設x的相對誤差為2 求的相對誤差。解 設為x的近似值，則有相對誤差為，絕對誤差為，從而的誤差為，相對誤差為。3 下列各數都是經過四捨五入得到的近似數，即誤差不超過最後一位...
數值計算方法答案
習題一 2 習題二 6 習題三 15 習題四 29 習題五 37 習題六 62 習題七 70 2009 9，9 習題一1 設 0相對誤差為2 求，的相對誤差。解 由自變數的誤差對函式值引起誤差的公式 得 1 時 2 時 2 設下面各數都是經過四捨五入得到的近似數，即誤差不超過最後一位的半個單位，試指...
數值計算方法習題答案習題3習題6
習題三2 解 7.解 11.解 13.解 習題四所以在 由上述迭代格式之迭代函式為，則 故對於任意的x 0，均有 迭代是收斂的。不妨假設則有 解之得i 2,及i 1,負根不合題意捨去，故 7.證明 1 時，且所以迭代過程在區間 1.3,1.6 上收斂。2 當時，令得在上單調遞增。在單調遞減。又時，所...