一、填空題：
1、若隨機變數的概率密度為,則的方差為 。
2、若服從二項分布b(5000,0.001),則由泊松定理知 。
3、若服從均值為5的指數分布，則 。
4、設服從引數為2的泊松過程,則
5、設的概率密度為,則其分布函式的逆函式為 。
二、選擇題：
6、能產生等可能取值為中乙個數的matlab程式是（ ）
(a) ceil(5*rand) (b) floor(5*rand) (c)floor(6*rand) (d)randperm(5)
7、在matlab中,表示二項分布的分布函式的是（ ）
(a) binopdf (b) binocdf (c) nbinpdf (d) nbincdf
8、能產生均值為5的指數隨機數的matlab程式是（ ）
(a) -5*ln(rand) (b) -log(rand)/5 (c) -5*log(rand) (d) 5*log(rand)
9、在matlab中,表示正態分佈的分位數的是
(a) normcdf (b) norminv (c) normpdf (d) normrnd
10、, 則的方差為（ ）
(a) 1 (b) (cd)
三、計算題：
11、設，的分布函式為證明：的分布函式也是
12、積分，(1) 利用數值方法給出積分的計算結果；
(2) 利用monte carlo方法程式設計計算積分。
13、設的概率分布為
寫出利用舍選抽樣法產生隨機數的演算法步驟和matlab程式。
14、設的概率分布函式為
寫出逆變換法產生隨機數的演算法步驟和matlab程式。
15、某工廠近5年來發生了63次事故，按星期幾分類如下
問：事故的發生是否與星期幾有關？(注意不用程式設計，顯著性水平)
（附表：其中表示自由度為的隨機變數在點的分布函式值， ）
16、某計算機機房的一台計算機經常出故障，研究者每隔15分鐘觀察一次計算機的執行狀態，收集了24個小時的數(共作97次觀察)，用1表示正常狀態，用0表示不正常狀態，所得的資料序列如下：
設xn為第n(n=1,2,…,97)個時段的計算機狀態，可以認為它是乙個齊次馬氏鏈，從上資料序列中得到：96次狀態轉移情況是： 0→0：
8次； 0→1：18次1→0：18次； 1→1：
52次。求
(1)一步轉移概率矩陣；
(2)已知計算機在某一時段(15分鐘)的狀態為0，問在此條件下，從此時段起，該計算機能連續正常工作45分鐘(3個時段)的條件概率.
17、設是具有三個狀態0，1，2的時齊馬氏鏈，一步轉移矩陣為：
，初始分布為
求：；；
.答案：
一、填空題：
1、u 2、 3、 4、5、
二、選擇題：
6、a 7、b 8、c 9、b 10、c
三、計算題：
11、解：注意到與同分布， 從而與同分布，
設的分布為，於是
顯然當時，有
當時，有
從而的分布函式也是
12、(1) 解：令，則
(2) 令，則，於是
matlab程式如下：
n=5000; y=rand(n,1);（或y=unifrnd(0,1,n,1)）
for i=1:n
int(i)=2*exp(-(1/y(i)-1)^2)/y(i)^2;
endi=mean(int);
13、解：令為取值為1、2、3的離散均勻分布，則概率分布為
則c=0.5/(1/3)=1.5
的隨機數產生的舍選抽樣法演算法步驟如下：
step1：產生的隨機數和均勻隨機數u；
step2：若u，則令；否則返回step1。
matlab程式如下:
p=(0.3,0.5,0.2);
y=floor(3*rand+1); u=rand;
while (u>p(y)/0.5)
y= floor(3*rand+1); u=rand;
endx=y;
14、解：令可解得
因為與同分布，則。
演算法步驟為：
step1：產生均勻隨機數u；
step2：令或，則得到的隨機數。
matlab程式：
alpha=5;beta=3; u=rand;
x=(-log(u)/alpha)^(1/beta);
15、解：檢驗假設為
, 使用卡方檢驗統計量
因, 計算得
，由p值為0.8931，說明不能拒絕原假設，即不認為發生事故與星期幾有關。
16、(1) 一步轉移概率可用頻率近似地表示為：
所以一步轉移矩陣為：；
（2） 某一時段的狀態為0，定義為初始狀態，即，所求概率為：
17、首先由c-k方程得兩步轉移矩陣為：
一、填空題：
1、若隨機變數的概率密度為,則的方差為 。
2、若服從二項分布b(500,0.01),則由泊松定理知 。
3、若服從失效率為0.05的指數分布，則 。
4、設服從引數為0.5的泊松過程,則
5、設的概率密度為,則其分布函式的逆函式為 。
二、選擇題：
6、能產生等可能取值為中乙個數的matlab程式是（ ）
(a) ceil(5*rand) (b) ceil(4*rand) (c)floor(4*rand) (d)randperm(4)
7、在matlab中,表示負二項分布的概率密度函式的是（ ）
(a) binopdf (b) binocdf (c) nbinpdf (d) nbincdf
8、能產生失效率為5的指數分布隨機數的matlab程式是（ ）
(a) -5*ln(rand) (b) -log(rand)/5 (c) -5*log(rand) (d) 5*log(rand)
9、在matlab中,不可能產生乙個均勻分布隨機數的是哪個？（ ）
(a) unifrnd(0,1) (b) unidrnd(1,1,1) (c) unifrnd(0,1,1) (d) rand(1)
10、設時齊markov鏈, 其一步轉移概率矩陣為, 則該過程的5步轉移概率矩陣為（ ）
(a) (b) (c) (d)
三、計算題：
11、設的分布函式為證明：服從區間(0,1)上的均勻分布。
12、 (1) 計算概率積分；
(2) 利用monte carlo方法程式設計計算積分的matlab程式。
13、利用逆變換方法產生概率密度函式的隨機數, 寫出推導過程和matlab程式。
14、利用舍選抽樣法產生概率分布為
的隨機數的演算法步驟和matlab程式。
15、考慮隨機變數，其可能取值為1,2,3,4,5，我們檢驗假設隨機變數是等可能取這些值，如果樣本大小為50，觀測分別為12,5,19,7,7，利用檢驗方法說明該資料是否來自離散均勻分布。（附表：其中表示自由度為的分布在點的分布函式值， ））。
16、（1）簡述metropolis準則；
（2）若要產生密度的隨機數，設當前狀態為，從中等可能取一座標，按分布函式產生隨機數，則為下乙個狀態，證明：吉布斯(gibbs)抽樣法的轉移概率；
（3）設隨機變數和均在區間。設在下的條件密度為
及下的條件密度為
，利用吉布斯抽樣法給出隨機向量的隨機數程式。
答案：一、填空題：
1、2 2、 3、 4、 5、
二、選擇題：
三、計算題：
11、記當時，當時，
所以故服從
12、（1）令
（2）令
matlab程式為：
n=10000;y=rand(n,1);
for i=1:n
i1(i)=exp(-(1/(y(i)-1)^2/2)*y(i)^2;
endi=(mean(i1)^2;
13、當時，
令即解得
matlab程式：
x=(2*rand-1)^(1/3);
14、取則
演算法步驟為：第一步：產生隨機數u1和u2；第二步：令y=int(6u1);
第三步：若u2時，令x=y；否則返回。
matlab程式：
p=[0.15,0.1,0.2,0.15,0.3,0.1];
y=floor(6*rand+1);u=rand;
while (u>p(y)/0.3)
y=floor(6*rand+1); u=rand;
endx=y;
15、原假設為：
檢驗統計量為
由於則p值為
因p值很小，應拒絕原假設，即認為資料不是來自離散均勻分布。
16、(1) 設馬爾可夫鏈y是按照某概率原則產生的狀態，的下一步狀態以概率接受狀態，即；以概率保持不變，即。
（2）採用h-m演算法有
則轉移概率為
(3) matlab程式為：
n=10000; b=50;
x=zeros(n,1);y=zeros(n,1);
x(1)=unifrnd(0,b); y(1)=unifrnd(0,b);
for i=2:n
x(i)=-log(rand)/y(i-1);
y(i)=-log(rand)/x(i);
end或
x0=unifrnd(0,b); y0=unifrnd(0,b);
x=-log(rand)/y0;
y=-log(rand)/x;
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