第十四章疲勞分析的數值計算方法
及例項第一節引言
零件或構件由於交變載荷的反覆作用，在它所承受的交變應力尚未達到靜強度設計的許用應力情況下就會在零件或構件的區域性位置產生疲勞裂紋並擴充套件、最後突然斷裂。這種現象稱為疲勞破壞。疲勞裂紋的形成和擴充套件具有很大的隱蔽性而在疲勞斷裂時又具有瞬發性，因此疲勞破壞往往會造成極大的經濟損失和災難性後果。
金屬的疲勞破壞形式和機理不同與靜載破壞，所以零件疲勞強度的設計計算不能為經典的靜強度設計計算所替代，屬於動強度設計。隨著機車車輛向高速、大功率和輕量化方向的迅速發展，其疲勞強度及其可靠性的要求也越來越高。近幾年隨著我國鐵路的不斷提速，機車、車輛和道軌等鐵路設施的疲勞斷裂事故不斷發生，越來越引起人們的重視。
疲勞強度設計及其研究正在成為我國高速機車車輛設計製造中的一項不可缺少的和重要的工作。
金屬疲勞的研究已有近150年的歷史，有相當多的學者和工程技術人員進行了大量的研究，得到了許多關於金屬疲勞損傷和斷裂的理論及有關經驗技術。但是由於疲勞破壞的影響因素多而複雜並且這些因素互相影響又與構件的實際情況密切相關，使得其應用性成果尚遠遠不能滿足工程設計和生產應用的需要。據統計，至今有約90%的機械零部件的斷裂破壞仍然是由直接於疲勞或者間接疲勞而引起的。
因此，在21世紀的今天，尤其是在高速和大功率化的新產品的開發製造中，其疲勞強度或疲勞壽命的設計十分重要，並且往往需要同時進行相應的試驗研究和試驗驗證。
疲勞斷裂是因為在零件或構件表層上的高應力或強度比較低弱的部位區域產生疲勞裂紋，並進一步擴充套件而造成的。這些危險部位小到幾個公釐甚至幾十個微公尺的範圍，零件或構件的幾何缺口根部、表面缺陷、切削刀痕、碰磕傷痕及材料的內部缺陷等往往是這種危險部位。因此，提高構件疲勞強度的基本途徑主要有兩種。
一種是機械設計的方法，主要有優化或改善缺口形狀，改進加工工藝工程和質量等手段將危險點的峰值應力降下來；另一種是材料冶金的方法，即用熱處理手段將危險點區域性區域的疲勞強度提高，或者是提高冶金質量來減少金屬基體中的非金屬夾雜等材料缺陷等區域性薄弱區域。在解決實際工程問題時，往往需要結合運用以上兩種方法進行疲勞強度設計和研究。合理地利用各種提高疲勞強度的手段，可以有效地提高構件的疲勞強度或延長其疲勞壽命，並起到輕量化的作用。
關於疲勞問題的研究，基本上可分為疲勞裂紋的形成和擴充套件機理、規律方面的基礎性研究和疲勞強度設計以及提高疲勞強度的有效途徑等應用性研究。應用性研究雖然借鑑了基礎性研究的成果，但因為它需要考慮更多的實際影響因素，所以它的研究更為複雜和困難。因此相比之下關於疲勞壽命的**和疲勞強度設計等應用性研究要少得多，遠遠落後於實際工程的需求。
過去，疲勞強度設計和壽命**的研究主要是以試驗為基礎進行的。隨著計算機應用技術和有限元數值計算理論及其應用的迅速發展，現在又興起了基於大量試驗資料的疲勞強度設計和壽命計算的有限元數值計算方法，有力地推動著零部件疲勞強度設計的研究及應用的發展。
當前，業已發展形成了專用的疲勞分析軟體，如msc/fatigue等。此外許多著名的有限元分析軟體也巢狀有功能較為齊全的疲勞強度計算模組，如marc，ansys，以及i-deas中的cae等。這些軟體疲勞強度計算模組的細節雖然不盡相同，但是其基本思路與演算法大都相似。
本章將闡述疲勞強度設計的基本概念、疲勞強度的主要影響因素、疲勞強度設計的有關理論、基本設計方法等。最後，還將對疲勞強度分析的例項進行介紹。
第二節疲勞載荷型別與s-n曲線：
一、疲勞載荷的型別與基本術語
使零件或構件發生疲勞破壞的動載荷稱為疲勞載荷，可分為為兩類。一類是其大小和正負方向隨時間周期性地變化的交變載荷，另一類是大小和正負方向隨時間隨機變化的隨機載荷。交變載荷又稱為迴圈載荷，是最為簡單和基本的疲勞載荷形式。
所研究結構部位因交變載荷引起的應力稱為交變應力。
圖14-1（a）是乙個典型的交變應力-時間的變化歷程。圖中迴圈應力的大小和正負方（拉壓）向隨著時間的變化而作週期性的變化。乙個週期的應力變化過程稱為乙個應力迴圈。
應力迴圈特點可用迴圈中的最大應力σmax、最小應力σmin和週期t（或頻率f=1/t）來描述。因為最大應力和最小應力的絕對值相等而正負號相反，故稱這種交變載荷為對稱迴圈應力。典型的迴圈載荷如圓軸類桿件的旋轉彎曲、軸向拉壓和平板零件的雙向彎曲等，都可以在零件的表面或內部產生這樣的交變應力。
另外，軸類零件的雙向扭轉也可以產生類似的交變應力。
在疲勞載荷的描述中經常使用應力幅σa和應力範圍△σ（也稱為應力振幅、應力幅度）的概念，定義如下。
14-1）
14-2）
應力幅σa反映了交變應力在乙個應力迴圈中變化大小的程度，它是使金屬構件發生疲勞破壞的根本原因。
當研究的部位除承受有動載荷外，還有靜載分量荷時，動靜載荷的共同作用下的應力-時間變化曲線如圖14-1（b）所示。此時的載荷時間-變化曲線相當於把圖14-1（a）的對稱迴圈應力曲線向上平移乙個了靜應力分量。這種的迴圈載荷稱為不對稱迴圈載荷，並用最小應力與最大應力的比值r來描述迴圈應力的不對稱程度，r稱為應力比，有時又稱為不對稱係數，即
14-4）
由定義可知，當r=-1時的迴圈應力即為對稱迴圈應力，當r≠0時統稱不對稱迴圈應力。其中，r=0時為拉伸脈動應力，r=-∞時為壓縮脈動迴圈。
迴圈應力中的靜載分量通常稱為平均應力，用σm表示，可由下式求出。
14-5）
靜載分量或平均應力對構件的疲勞強度有一定的影響。壓縮平均應力往往提高構件的疲勞強度，而拉伸平均應力往往降低構件的疲勞強度。因此，在疲勞強度和疲勞壽命的研究中，給定乙個迴圈應力水平時，需要同時給出應力幅σa和應力比r、或者同時給出最大應力σmax和平均應力σm，也有時直接給出最大應力σmax和最小應力σmin來表示迴圈應力水平。
由以上各式可知，在應力幅、平均應力、應力比、最大應力和最小應力的引數中，只要已知其中的兩個便可求出其它。如當已知σa、r時，其它引數便可由下式得到。
14-6）
或者已知或σa、σm時，
14-7）
二、材料的s-n曲線與基本術語
一般情況下，材料所承受的迴圈載荷的應力幅越小，到發生疲勞破斷時所經歷的應力迴圈次數越長。s-n曲線就是材料所承受的應力幅水平與該應力幅下發生疲勞破壞時所經歷的應力迴圈次數的關係曲線。s-n曲線一般是使用標準試樣進行疲勞試驗獲得的。
如圖14-2所示，縱座標表示試樣承受的應力幅，有時也表示為最大應力，但二者一般都用σ表示；橫座標表示應力迴圈次數，常用nf表示。為使用方便，在雙對數座標系下s-n曲線被近似簡化成兩條直線。但也有很多情況只對橫座標取對數，此時也常把s-n曲線近似簡化成兩條直線。
s-n曲線中的水平直線部分對應的應力水平就是材料的疲勞極限，其原意為材料經受無
數次應力迴圈都不發生破壞的應力極限，對鋼鐵材料此「無限」的定義一般為107次應力迴圈。但現代高速疲勞試驗機的研究成果表明，即使應力迴圈次數超過107材料仍然有可能發生疲勞斷裂。不過107次的應力迴圈次數，對於實際的工程中的疲勞強度設計已經完全能夠滿足需要。
疲勞極限又稱持久極限，對於無缺口的光滑試樣，多用σw0表示，而應力比r=-1時的疲勞極限常用σ-1來表示。某些不鏽鋼和有色金屬的s-n中沒有水平直線部分，此時的疲勞極限都一般定義為108次應力迴圈下對應的應力幅水平。疲勞極限是材料抗疲勞能力的重要效能指標，也是進行疲勞強度的無限壽命設計的主要依據。
斜線部分給出了試樣承受的應力幅水平與發生疲勞破斷時所經歷的應力迴圈次數之間的關係，多用如冪函式的形式表示。
14-8）
式中σ為應力幅或最大應力，n為達到疲勞破斷時的應力迴圈次數，m，c材料常數。
如果給定乙個應力迴圈次數，便可由上式求出或由斜線量出材料在該條件下所能承受的最大應力幅水平。反之，也可以由一定的工作應力幅求出對應的疲勞壽命。因為此時試樣或材料所能承受的應力幅水平是與給定的應力迴圈次數相關聯的，所以稱之為條件疲勞極限，或稱為疲勞強度。
斜線部分是零部件疲勞強度的有限壽命設計或疲勞壽命計算的主要依據。
材料或構件到發生疲勞破壞時所經歷的應力迴圈次數稱為材料或構件的疲勞壽命，通常它包括疲勞裂紋的萌生壽命與擴充套件壽命之和。疲勞裂紋萌生壽命為構件從開始使用到區域性區域產生疲勞損傷累積、萌生裂紋時的壽命；裂紋擴充套件壽命為構件在裂紋萌生後繼續使用而導致裂紋擴充套件達到疲勞破壞時的壽命。在疲勞強度設計中，疲勞破壞可能被定義為疲勞破斷或規定的報廢限度。
s-n曲線又稱為應力-壽命曲線，主要用於構件的變形在彈性變形範圍內的情形。一般說來，這種應力狀態下的疲勞達到破壞時的迴圈次數比較高，往往達到106以上，所以這種疲勞又稱為高周疲勞。相對地，達到疲勞破壞的迴圈次數較低時的疲勞稱為低周疲勞，發生低周疲勞時構件在區域性位置發生了塑性變形。
近三十年來，對於低周疲勞，基於塑性應變幅εa的疲勞壽命曲線（εa-n）在工程中得到應用。對於帶缺口的零件，其工作載荷變動較大時，在應力集中的區域性區域將會發生塑性變形，此時疲勞壽命估算則要求基於應力和基於塑性應變的兩種材料疲勞效能曲線。這種方法目前還不能用於高周疲勞的壽命估算。
第三節、疲勞強度的影響因素
通常我們通過手冊所獲得的s-n曲線大多是無缺口的標準試樣的試驗結果。但是實際零部件的形狀、尺寸、表面狀態、工作環境和工作載荷的特點都可能大不相同，而這些因素都對零部件的疲勞強度產生很大的影響。疲勞強度的影響因素可分為力學、冶金學和環境三個方面。
這些因素互相聯絡影響，使得在疲勞強度設計和疲勞壽命**時，綜合評價這些因素影響變得複雜。
疲勞分析的數值計算方法及例項
第十四章疲勞分析的數值計算方法 及例項第一節引言 零件或構件由於交變載荷的反覆作用，在它所承受的交變應力尚未達到靜強度設計的許用應力情況下就會在零件或構件的區域性位置產生疲勞裂紋並擴充套件 最後突然斷裂。這種現象稱為疲勞破壞。疲勞裂紋的形成和擴充套件具有很大的隱蔽性而在疲勞斷裂時又具有瞬發性，因此疲...
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數值計算方法答案
習題一 2 習題二 6 習題三 15 習題四 29 習題五 37 習題六 62 習題七 70 2009 9，9 習題一1 設 0相對誤差為2 求，的相對誤差。解 由自變數的誤差對函式值引起誤差的公式 得 1 時 2 時 2 設下面各數都是經過四捨五入得到的近似數，即誤差不超過最後一位的半個單位，試指...