橢圓型微分方程的有限差分法
主講： 譚林
基本思想（步驟）：
（1） 將求解區域（無限個點）限制在有限個離散點上，一般可通過網格剖分獲得。
（2） 在離散點處，將求微分問題（無限計算問題）近似化為求若干（相鄰）離散點上函式值的線性組合問題（有限計算問題），一般利用數值微商（分）（不同有限元法）。形成所謂的差分方程。
（3） 差分方程的適定性、收斂性和穩定性分析。
（4） 差分方程的解法。
下面以兩點邊值問題為例介紹有限差分法全過程
一、常見的有限差分方法
（1） 直接差分法
模型問題1：橢圓型方程第一邊值問題。
其中，模型問題2：
其中，首先對模型問題1 討論其有限差分方法的基本步驟
● 求解區域的離散化
做均勻網格剖分：
其中，分點
剖分步長
● 在節點處，對微分方程離散化有其中
記在節點數值解為，
則有 (*1)
比較知 所以
表示用差分運算元代替微分運算元產生的誤差
稱之為（區域性）截斷誤差。這裡關於的階為。
注意所以
由此知：（區域性）截斷誤差可視為差分格式（方程）(*1)，將數值解換成相應真解值後，左端減右端，再做taylor展式獲得的（可作為計算公式）。
方程 (*1) 的聯立形式（中心差分格式）
矩陣形式
(其中是三對角矩陣)
接下來對模型問題2 進行討論
在節點處，對微分方程離散化
關鍵，建立
的離散（近似）公式。
做一般網格剖分(非均勻)：
其中，分點
第個剖分單元的剖分步長
引入對偶剖分
其中，分點
建立離散公式的基本思想是一階中心差商去近似一階導數
令flux function.
第一次用一階中心差商近似一階導數
第二次用一階中心差商近似一階導數
最後的格式為
(區域性)截斷誤差的推導和模型問題1類似.
習題.在一般網格剖分下，對微分方程
建立中心差分格式.
（2） 積分差分法（有限體積法）
考慮微分方程節點處的離散化
模型問題3：
其中，step 1. 將微分方程
在節點所屬的對偶單元
上積分得：積分方程
step 2. 對含未知函式的三項
注意：一般要求函式連續，但
允許間斷。所以不對直接離散化。
以為例討論。注意得因此
而類似而綜上得微分方程在節點處的離散化格式（差分方
程）為特別利用數值積分，可得：
直接差分方法的結果!
積分差分法（有限體積法）的優點
（1） 對係數的光滑性要求低
（2） 變於推廣到任意網格、邊界條件
（3） 保守恆性（對收斂性重要）
（3） 變分--差分法
類似有限元法，不介紹
二、差分方程的適定性、收斂性和穩定性分析
考慮模型問題3：
其中，差分方程（格式）為
（*）等價形式
其中，矩陣形式
m矩陣，它們滿足
（1）（2）對角佔優性
極值定理若（），對，
則不可能在內點取正的極大（負的極小），
除非常數。
證明.（），對。
反證法，設在某內點取正的極大m,
且常數，則
存在某內點，使或這時
矛盾。推論 1. 差分方程（*）是適定的（存在唯一性）。
證明. 注意差分方程（*）的矩陣形式
差分方程（*）是存在唯一性，只需證明矩陣
非奇異。或奇次方程
（**）
只有零解。
注意，差分方程（*）的奇次情形
（***）
其矩陣形式為（**），所以只需證明差分方程
（***）的解是零解。而由極值定理知只能在邊界點上取正的極大和負的極小。所以（***）的解為零解。
推論 2. 若，對，且
，則，對。
即m矩陣的逆矩陣是非負矩陣。
（因為其中，。
若對任意非負向量,均為非負向量，則
m矩陣的逆矩陣只能為非負矩陣。這點與其相應的連續運算元，即laplace運算元的性質非常類似，亦為正運算元。）
比較定理.設序列（網函式），滿足，且則
推論 3（關於邊界值的穩定性）.差分方程
的解滿足估計式
差分方程（*）(或（**）)的收斂性估計（同時，回答了差分方程的解關於右值的穩定性）。
對特殊模型問題
均勻剖分
令滿足差分方程
其中，當時
選取優勢函式
直接驗算
由比較定理
定理. 設,則
習題： 推導上述未證明的推論或定理。
注.利用嵌入法（對有限元法類似，需用lax-milgram th.）可證明（飽和階）設令
則有利用上述定理的同樣推導可證
從而證之。
有限差分方法概述
有限差分法 finite difference method，簡稱fdm 是數值方法中最經典的方法，也是計算機數值模擬最早採用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函式值的差商...
有限元方法與有限差分方法異同點
1.三種方法都是通過離散的方式求解微分方程，但離散方式不同，比如有限差分是用差分近似微分，有限元法是用插值函式來近似等 2.三種方法適應的問題不同，比如有限差分法適應線性的區域規則的問題，而有限元法可計算非線性不規則區域問題 3.三種方法都可以做到高精度。1。有限元法的相對優點和下述事實有關 在泛函...
差分方法實驗報告
實驗報告 課程名稱 計算方法 院系 數學科學系 專業班級 數應1001 學號 1031110139 學生姓名 姚海保 指導教師 沈林 開課時間 2012至2013學年第一學期 一 學生撰寫要求 按照實驗課程培養方案的要求，每門實驗課程中的每乙個實驗專案完成後，每位參加實驗的學生均須在實驗教師規定的時...