縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關數列的試題出現的頻率較高，不僅可與函式、方程、不等式、複數相聯絡，而且還與三角、立體幾何密切相關；數列作為特殊的函式，在實際問題中有著廣泛的應用，如增長率，減薄率，銀行信貸，濃度匹配，養老保險，圓鋼堆壘等問題.這就要求同學們除熟練運用有關概念式外，還要善於觀察題設的特徵，聯想有關數學知識和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數列題的速度.
●案例**
［例1］從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，並以此發展旅遊產業，根據規劃，本年度投入800萬元，以後每年投入將比上年減少，本年度當地旅遊業收入估計為400萬元，由於該項建設對旅遊業的促進作用，預計今後的旅遊業收入每年會比上年增加.
(1)設n年內(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅遊業總收入為bn萬元，寫出an,bn的表示式；
(2)至少經過幾年，旅遊業的總收入才能超過總投入？
知識依託：本題以函式思想為指導，以數列知識為工具，涉及函式建模、數列求和、不等式的解法等知識點.
錯解分析：(1)問an、bn實際上是兩個數列的前n項和，易與「通項」混淆；(2)問是既解一元二次不等式又解指數不等式，易出現偏差.
技巧與方法：正確審題、深刻挖掘數量關係，建立數量模型是本題的靈魂，(2)問中指數不等式採用了換元法，是解不等式常用的技巧.
解：(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800×(1－)萬元，…第n年投入為800×(1－)n－1萬元，所以，n年內的總投入為
an=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1=800×(1－)k－1
=4000×［1－()n］
第1年旅遊業收入為400萬元，第2年旅遊業收入為400×(1+)，…，第n年旅遊業收入400×(1+)n－1萬元.所以，n年內的旅遊業總收入為
bn=400+400×(1+)+…+400×(1+)k－1=400×()k－1.
=1600×［()n－1］
(2)設至少經過n年旅遊業的總收入才能超過總投入，由此bn－an＞0，即：
1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(捨去).即()n＜，由此得n≥5.
∴至少經過5年，旅遊業的總收入才能超過總投入.
［例2］已知sn=1++…+,(n∈n*)設f(n)=s2n+1－sn+1,試確定實數m的取值範圍，使得對於一切大於1的自然數n，不等式：f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恆成立.
知識依託：本題把函式、不等式恆成立等問題組合在一起，構思巧妙.
錯解分析：本題學生很容易求f(n)的和，但由於無法求和，故對不等式難以處理.
技巧與方法：解決本題的關鍵是把f(n)(n∈n*)看作是n的函式，此時不等式的恆成立就轉化為：函式f(n)的最小值大於［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2.
解：∵sn=1++…+.(n∈n*)
∴f(n+1)＞f(n)
∴f(n)是關於n的增函式
∴f(n) min=f(2)=
∴要使一切大於1的自然數n，不等式
f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恆成立
只要＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2成立即可
由得m＞1且m≠2
此時設［logm(m－1)］2=t 則t＞0
於是解得0＜t＜1
由此得0＜［logm(m－1)］2＜1
解得m＞且m≠2.
●錦囊妙計
數列綜合應用
自 主 排 查 1 公式法與分組求和法 1 公式法 直接利用等差數列 等比數列的前n項和公式求和。等差數列的前n項和公式 sn na1 d。等比數列的前n項和公式 sn 2 分組求和法 若乙個數列是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和後相加減。2 倒序相加法...
數列的綜合應用
精選三年經典試題 數學 2014屆高三全程必備 高頻題型全掌握系列 1.衡水中學模擬 設不等式組所表示的平面區域為，記內的格點 格點即橫座標和縱座標均為整數的點 的個數為 1 求 的值及的表示式 2 設，為的前項和，求.解 1 由已知易於得到，當時，可取格點個 當時,可取格點個 2 由題意知 得 2...
數列求和與數列綜合問題
一 內容與目標 1 掌握等差,等比數列前n項和公式,以及反序相加法,錯位相減法,分組求和法,裂項法求數列的和.2 熟記常見數列的前n項和公式 3 基本方法及主要應用 1.錯位相減法 主要應用於乙個等差與乙個等比對應項相乘所得的數列求和.2.反序相加法 將乙個數列倒序與原數列相加,若有公因式提出後剩餘...