分類討論思想就是根據所研究物件的性質差異，分各種不同的情況予以分析解決.分類討論題覆蓋知識點較多，利於考查學生的知識面、分類思想和技巧；同時方式多樣，具有較高的邏輯性及很強的綜合性，樹立分類討論思想，應注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧、做到「確定物件的全體，明確分類的標準，分層別類不重複、不遺漏的分析討論.」
●案例**
［例1］已知是首項為2，公比為的等比數列，sn為它的前n項和.
（1）用sn表示sn+1;
（2）是否存在自然數c和k，使得成立.
知識依託：解決本題依據不等式的分析法轉化，放縮、解簡單的分式不等式；數列的基本性質.
錯解分析：第2問中不等式的等價轉化為學生的易錯點，不能確定出.
技巧與方法：本題屬於探索性題型，是高考試題的熱點題型.在**第2問的解法時，採取優化結論的策略，並靈活運用分類討論的思想：即對雙引數k,c輪流分類討論，從而獲得答案.
解：（1）由sn=4(1–），得
，(n∈n*)
（2）要使，只要
因為所以，(k∈n*)
故只要sk–2＜c＜sk，（k∈n*）
因為sk+1＞sk，(k∈n
所以sk–2≥s1–2=1.
又sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3.
當c=2時，因為s1=2，所以當k=1時，c＜sk不成立，從而①不成立.
當k≥2時，因為，由sk＜sk+1(k∈n*)得
sk–2＜sk+1–2
故當k≥2時， sk–2＞c，從而①不成立.
當c=3時，因為s1=2，s2=3，
所以當k=1，k=2時，c＜sk不成立，從而①不成立
因為，又sk–2＜sk+1–2
所以當k≥3時， sk–2＞c，從而①成立.
綜上所述，不存在自然數c,k,使成立.
［例2］給出定點a（a,0)（a＞0）和直線l：x=–1，b是直線l上的動點，∠boa的角平分線交ab於點c.求點c的軌跡方程，並討論方程表示的曲線型別與a值的關係.
知識依託：求動點軌跡的基本方法步驟.橢圓、雙曲線、拋物線標準方程的基本特點.
錯解分析：本題易錯點為考生不能巧妙借助題意條件，構建動點座標應滿足的關係式和分類討論軌跡方程表示曲線型別.
技巧與方法：精心思考，發散思維、多途徑、多角度的由題設條件出發，探尋動點應滿足的關係式.巧妙地利用角平分線的性質.
解法一：依題意，記b（–1，b)，(b∈r），則直線oa和ob的方程分別為y=0和y=–bx.
設點c(x,y)，則有0≤x＜a，由oc平分∠aob，知點c到oa、ob距離相等.
根據點到直線的距離公式得｜y
依題設，點c在直線ab上，故有
由x–a≠0，得 ②
將②式代入①式，得y2［(1–a)x2–2ax+(1+a)y2］=0
若y≠0，則
(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)
若y=0則b=0,∠aob=π，點c的座標為（0，0）滿足上式.
綜上，得點c的軌跡方程為
（1–a）x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a
(i)當a=1時，軌跡方程化為y2=x(0≤x＜1 ③
此時方程③表示拋物線弧段；
(ii)當a≠1，軌跡方程化為
④所以當0＜a＜1時，方程④表示橢圓弧段；
當a＞1時，方程④表示雙曲線一支的弧段.
解法二：如圖，設d是l與x軸的交點，過點c作ce⊥x軸，e是垂足.
（i）當｜bd｜≠0時，
設點c(x,y)，則0＜x＜a，y≠0
由ce∥bd，得.
∵∠coa=∠cob=∠cod–∠bod=π–∠coa–∠bod
∴2∠coa=π–∠bod∴∵
∴整理，得
(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)
(ii)當｜bd｜=0時，∠boa=π，則點c的座標為(0,0)，滿足上式.
綜合(i)、(ii)，得點c的軌跡方程為
(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0≤x＜a)
以下同解法一.
解法三：設c(x,y)、b(–1,b)，則bo的方程為y=–bx，直線ab的方程為
∵當b≠0時，oc平分∠aob，設∠aoc=θ,
∴直線oc的斜率為k=tanθ,oc的方程為y=kx於是
又tan2θ=–b
∴–b= ①
∵c點在ab上
∴ ②
由①、②消去b，得 ③
又，代入③，有
整理，得(a–1)x2–(1+a)y2+2ax=0 ④
當b=0時，即b點在x軸上時，c(0,0)滿足上式：
a≠1時，④式變為
當0＜a＜1時，④表示橢圓弧段；
當a＞1時，④表示雙曲線一支的弧段；
當a=1時，④表示拋物線弧段.
●錦囊妙計
分類討論思想就是依據一定的標準，對問題分類、求解，要特別注意分類必須滿足互斥、無漏、最簡的原則.分類討論常見的依據是：
1.由概念內涵分類.如絕對值、直線的斜率、指數對數函式、直線與平面的夾角等定義包含了分類.
2.由公式條件分類.如等比數列的前n項和公式、極限的計算、圓錐曲線的統一定義中圖形的分類等.
3.由實際意義分類.如排列、組合、概率中較常見，但不明顯、有些應用問題也需分類討論.
在學習中也要注意優化策略，有時利用轉化策略，如反證法、補集法、變更多元法、數形結合法等簡化甚至避開討論.
專題1分類討論
專題一分類討論思想 一 概述 根據研究物件的本質屬性的差異，將所研究的問題分為不同種類的思想叫做分類思想 將事物進行分類，然後對劃分的每一類分別進行研究和求解的方法叫做分類討論 通常分類討論的題型有 1 問題所涉及到的數學概念是分類進行定義的.如 a 的定義分a 0 a 0 a 0三種情況.一元二次...
備考名校數學思想方法專題 03分類與討論
第一講轉化與劃歸 明方向 1 轉化 是解決數學問題的重要思想方法之一。有些數學問題，本身並無明顯的函式關係，但經分析，可找到乙個函式或構造乙個函式，通過對此函式的研究，打通解題思路。2 在解題時，可直接運用方程性質，或建立方程去解決問題，但注意構建的方程必修恰當 準確。3 對一些不能由問題的條件直接...
分類討論思想
當面臨的問題不宜用一種方法處理或同一種形式敘述時，就把問題按照一定的原則或標準分為若干類，然後逐類進行討論，再把這幾類的結論彙總，得出問題的答案，這種解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法 分類討論的思想方法的實質是把問題 分而治之，各個擊破 其一般規則及步驟是 1 確定同一分類標準 2 恰當地對...