-----應用篇
一、知識要點概述
1.分類討論的思想方法的原理及作用：在研究與解決數學問題時，如果問題不能以統一的同一種方法處理或同一種形式表述、概括，可根據數學物件的本質屬性的相同和不同點，按照一定的原則或某一確定的標準，在比較的基礎上，將數學物件劃分為若干既有聯絡又有區別的部分，然後逐類進行討論，再把這幾類的結論彙總，從而得出問題的答案，這種研究解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法.
分類討論的思想方法是中學數學的基本方法之一，在近幾年的高考試題中都把分類討論思想方法列為重要的思想方法來考查，體現出其重要的位置.分類討論的思想方法不僅具有明顯的邏輯性、題型覆蓋知識點較多、綜合性強等特點，而且還有利於對學生知識面的考查、需要學生有一定的分析能力、一定分類技巧，對學生能力的考查有著重要的作用.分類討論的思想的實質就是把數學問題中的各種限制條件的制約及變動因素的影響而採取的化整為零、各個突破的解題手段.
2. 引起分類討論的原因主要是以下幾個方面：
① 問題所涉及到的數學概念是分類進行定義的。如|a|的定義分a>0、a＝0、a<0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。
② 問題中涉及到的數學定理、公式和運算性質、法則有範圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數列的前n項和的公式，分q＝1和q≠1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質型。
③ 解含有引數的題目時，必須根據引數的不同取值範圍進行討論。如解不等式ax>2時分a>0、a＝0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。
另外，某些不確定的數量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。
二、解題方法指導
1.分類討論的思想方法的步驟：(1)確定標準；(2)合理分類；(3)逐類討論；(4)歸納總結.
2.簡化分類討論的策略：(1)消去引數；(2)整體換元；(3)變更主元；(4)考慮反面；(5)整體變形；(6)數形結合；(7)縮小範圍等.
3.進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的物件是確定的，標準是統一的，不遺漏、不重複，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是「不漏不重」
4.解題時把好「四關」
(1)要深刻理解基本知識與基本原理，把好「基礎關」；
(2)要找準劃分標準，把好「分類關」；
(3)要保證條理分明，層次清晰，把好「邏輯關」；
(4)要注意對照題中的限制條件或隱含資訊，合理取捨，把好「檢驗關」.
三、分類討論的幾點注意
1.分類討論的物件是用字母表示的數,一般為變數,當然也不排除為常量的可能.
【例1】 設00且a≠1，比較與的大小.
分析：比較對數大小，運用對數函式的單調性，而單調性與底數a有關，所以對底數a分兩類情況進行討論.
解： ∵ 01.
（１）當00，loga（１＋x）<0，所以
＝loga（１－x）－［－loga（１+x）］＝loga（１－x２）>0；
（2）當a>1時，loga（1-x）<0，loga（1+x）>0，所以
＝－loga（１－x２）>0.
由（１）、（２）可知，
【點評】 本題要求對對數函式y=logax的單調性的兩種情況十分熟悉，即當a>1時其是增函式，當01兩種情況討論；在用根的判別式法求函式的值域時，按首項係數是否為０進行討論；但要看具體問題的背景，如在求直線方程時，應分直線的斜率存在與否進行討論，……
【例３】 甲、乙兩人各射擊一次，擊中的概率分別是和.假設兩人射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響；每人各次射擊是否擊中目標，相互之間也沒有影響.
（ⅰ）求甲射擊４次，至少有一次未擊中目標的概率；
（ⅱ）求兩人各射擊４次，甲恰好擊中目標２次且乙恰好擊中目標３次的概率；
（ⅲ）假設某人連續兩次未擊中目標，則中止其射擊.問：乙恰好射擊５次後，被中止射擊的概率是多少？
解：（ⅲ）「射擊５次後，被中止射擊」的事件共有三種可能，一一敘述比較麻煩，若利用上面的**，將各次射擊依次編碼為在各次射擊中，擊中目標記為「１」，未擊中目標記為「０」，則所求概率為
【點評】 概率問題中只有「情況」而沒有「界值」，必須對事件進行分析，實際上也是進行分類討論，運用**來實施這種討論顯得簡單明瞭，操作起來更加方便.
４. 分清分類討論的「級別」
分類討論對思維提出了更高的要求，二級討論的結構模式是：
該模式被稱為「樹形圖」，此外常用的還有例３中的「**法」，兩種模式都能達到條分縷析的要求，精心進行這方面的訓練是不斷提高思維能力的良策.分級分類討論中各級的號碼要有明確的區別，同級的號碼要有統一的格式，以避免混亂而失去條理性.在一級分類中，也可省略編號.
【例４】 在１１名學生中，有５名只擅長長跑，有４名只擅長短跑，有２名既擅長長跑又擅長短跑.要選派４名參加長跑比賽，４名參加短跑比賽，有幾種選派方法？
解： 記長、短跑兩樣都擅長者為「全能者」，需對各種情況進行乙個二級分類討論，見下表.
則共有１８５種選派方法.
【點評】此題雖不是高考試題，卻是一道有利於思維訓練的傳統好題，題解中將條分縷析演繹到淋漓盡致的境界；如果將「賽跑」換成「做工、划船、打球、翻譯、……」，那麼題目就有了各種變化，但其實質沒有變，這就叫「以不變應萬變」.
四、應用
(一) 集合問題的分類討論
【例5】 已知集合ａ和集合ｂ各含有１２個元素，ａ∩ｂ含有４個元素，試求同時滿足下面兩個條件的集合ｃ的個數：
且ｃ中含有３個元素；
表示空集）.
分析： 集合ｃ的３個元素在ａ∪ｂ中取得，ａ∪ｂ中的元素包括兩類：①屬於ａ的元素；②屬於ｂ而不屬於ａ的元素.
因此，組成ｃ的３個元素的取法有四種：（１）①取０個，②取３個；（２）①取１個，②取２個；（３）①取２個，②取１個；（４）①取３個，②取０個，但由條件（ⅱ）知，ｃ∩ａ≠φ，因此，第一種取法必須排除，故集合ｃ的個數是三種取法之和.
解法１ ∵ a，ｂ各有１２個元素，
ａ∩ｂ含有４個元素，
∴ ａ∪ｂ中元素的個數是12+12-4=20（個）.其中，屬於ａ的元素１２個，屬於ｂ而不屬於ａ的元素８個.
要使ｃ∩ａ≠φ，則組成ｃ中的元素至少有１個含在ａ中，故集合ｃ的個數是
（１）只含ａ中１個元素的有個；
（２）含ａ中２個元素的有個；
（３）含ａ中３個元素的有個.
故所求的集合ｃ的個數共有（個）.
解法２ 由解法１知，ａ∪ｂ有２０個元素，滿足條件（ⅰ）的集合ｃ的個數是個.
但如果ｃ中的元素都在屬於ｂ而不屬於ａ的集合中取，則ｃ∩ａ≠φ，不滿足條件（ⅱ），屬於這種情況的有個，應該排除，故所求的集合ｃ的個數共有＝1084（個）.
【點評】 本題是：「包含與排除」的基本問題.正確解題的前提是正確的分類，達到分類完整且子域互斥；如果把ａ∪ｂ的元素分為屬於ａ的元素與屬於ｂ的元素兩類，則子域不能互斥；如果把ａ∪ｂ的元素分為既屬於ａ又屬於ｂ，屬於ａ但不屬於ｂ，屬於ｂ但不屬於ａ之類，雖然分類思想方法是對的，但卻難以確定集合ｃ的元素如何取法才能滿足題中條件.
在確定集合ｃ的個數時，要全面考慮，把各種可能的情況都取完，才不會遺漏；把所有不可能的情況都排除，才不致重複.
(二) 立體幾何中的分類討論
【例6】 如圖１，有兩個相同的直三稜柱，高為，底面三角形的三邊長分別為3a、4a、5a（a>0）.用它們拼成乙個三稜柱或四稜柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是乙個四稜柱，則a的取值範圍是 .
解： 拼成三稜柱時，將第二個放置在第乙個上面，並使兩底重合，這時三稜柱的全面積為ｓ１＝１２a2+48；拼成四稜柱時，將底邊長為5a、高為的面重合，這時四稜柱的全面積最小為ｓ２＝２４a2+２８，
則ｓ２－ｓ１＝４（３a2-5）<0，
解得0a，則當ｅ點與ｃ點重合，
即時，【點評】 這是一道極其容易出錯的題，「一般仔細」的人都難以避免出錯，只有「非常仔細」的人才能避免錯誤.當b>a時，θ不可能取到４５°，欲使d最小，就要使sin2θ最大，即要使tanθ最大，那麼當ｅ點與ｃ點重合時滿足此條件.不禁使我們聯想到二次函式在指定定義域上的最值問題.
(三) 解析幾何中的分類討論
１. 由引數數值變化引起對曲線形狀的討論.
【例10】 試討論關於x、y的方程（m-3）x2＋（5-m）y2=1所表示的曲線.
解： 分六種情況討論如下：
①當m=3或m=5時，方程分別表示兩對平行的直線y=±或x=±；
②當m＝４時，方程表示圓x2+y2=1；
③當m<３時，方程表示焦點在y軸上的雙曲線；
④當35時，方程表示焦點在x軸上的雙曲線.
【點評】 雖然討論的難度不算太大，但對實數m卻進行了全程討論，且是「三點四段式的討論」，只是由於將「m＝３或m=5」合併了，才表現為六種情況，幾乎囊括了所有的曲線.在求軌跡方程及其方程曲線的問題中經常會遇到這類問題.
【例11】 如圖，給出定點ａ（a，0）（a>0）和定直線l：x=-1，ｂ是直線l上的動點，∠ｂｏａ的平分線交ａｂ於ｃ.求點ｃ的軌跡方程，並討論方程表示的曲線型別與a值的關係.
解： 設ｂ（－１，b）（b∈r），則直線ｏａ：y=0，ｏｂ：y＝－bx.
設點ｃ（x，y）（０≤x1時，點ｃ的軌跡是雙曲線一支上的弧段.
【點評】 出現了兩次分類整合，首先對y的值是否為零進行討論，為的是將軌跡方程化簡；第二次是乙個二級分類整合，別忘記a>０這個前提.
2． 由引數值變化引起對直線與曲線位置關係的討論.
【例12】 已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點為ｆ，ａ是拋物線上橫座標為４，且位於x軸上方的點，ａ到拋物線準線的距離等於５，過ａ作ａｂ垂直於y軸，垂足為ｂ，ｏｂ的中點為ｍ.
（１）求拋物線的方程；
（２）過ｍ作ｍｎ⊥ｆａ，垂足為ｎ，求點ｎ的座標；
（３）以ｍ為圓心，ｍｂ為半徑作圓ｍ，當ｋ（m，0）是x軸上的一動點時，討論直線ａｋ與圓ｍ的位置關係.
解： （１）易得拋物線方程y2=4x．
（２）不難求得ｎ（）.
（３）圓ｍ的圓心為點（０，２），半徑為２，ａ（４，４）．
①當m=4時，lａｋ:x＝４，直線ａｋ與圓ｍ相離；
②當m≠４時，lａｋ：y＝（x-m），即4x-（4-m）y-4m=0，圓心ｍ（０，２）到直線ａｋ的距離
（i）若d>2，即m>1，則直線ａｋ與圓ｍ相離；
（ii）若d=2，即m=1，則直線ａｋ與圓ｍ相切；
（iii）若d<2，即m<1，則直線ａｋ與圓ｍ相交.
【點評】 （３）的難度雖不算大，但卻是乙個二級分類討論，條理清晰、層次分明是我們所追求的.數值變化引起直線與圓的位置關係的變化，也體現了「量變引起質變」的哲學原理.
分類討論的思想方法 1應用篇
一 知識要點概述 1.分類討論的思想方法的原理及作用 在研究與解決數學問題時，如果問題不能以統一的同一種方法處理或同一種形式表述 概括，可根據數學物件的本質屬性的相同和不同點，按照一定的原則或某一確定的標準，在比較的基礎上，將數學物件劃分為若干既有聯絡又有區別的部分，然後逐類進行討論，再把這幾類的結...
數學解題中的思想方法 分類討論思想
數學解題中的 分類 思想 知識技能梳理 1 分類討論就是根據數學物件的異同點，將數學物件按某種標準劃分為不同的種類，分別進行研究和求解。思維策略是 化繁為簡 化整為零 分別對待 各個擊破。2 引起分類討論的原因 1 涉及的數學概念是分類定義的 2 運用的數學定理 公式 運算性質 法則是分類給出的 3...
數學思想方法 分類討論 教學體會
黃振引數廣泛地存在於中學數學的各類問題中，也是近幾年來高考重點考查的熱點問題之一。以命題的條件和結論的結構為標準，含引數的問題可分為兩種型別，一種型別的問題是根據引數在允許值範圍內的不同取值 或取值範圍 去探求命題可能出現的結果，然後歸納出命題的結論 另一種型別的問題是給定命題的結論去探求引數的取值...