數學解題中的「分類」思想
知識技能梳理：
1、分類討論就是根據數學物件的異同點，將數學物件按某種標準劃分為不同的種類，分別進行研究和求解。思維策略是：化繁為簡、化整為零、分別對待、各個擊破。
2、引起分類討論的原因：
（1）涉及的數學概念是分類定義的；
（2）運用的數學定理、公式、運算性質、法則是分類給出的；
（3）求解的數學問題的結論存在多種可能性；
（4）數學問題中含有參變數，這些參變數的不同取值會導致不同的結果；
（5）較複雜或非常規的數學問題，需要採取分類討論的策略來解決的。
3、注意點：
（1）根據分類的原因確定討論的物件；
（2）根據討論的物件劃分分類的標準；
（3）先易後難，先特殊後一般，逐類進行討論，取得個部分結果；
（4）最後歸納小結，綜合得出結論。
典型例題剖析：
例1、解不等式：
答案：當時，不等式的解集為
當時，不等式的解集為
例2、已知是橢圓上的點，是軸上的點，求的最小值。
答案：當時，最小值為；
當時，最小值為；
當時，最小值為
例3、過原點作兩條傾斜角互補的直線分別交圓錐曲線於四點圍成乙個矩形，設直線的斜率為，則矩形面積為。當時，求的最大值。
答案：當時，最大值為；
當時，最大值為
例4、若複數在復平面上所對應的三個點組成直角三角形的三個頂點，且，求複數。
答案：例5、已知數列中，，前項和為，且滿足
（1）求證：數列是等差數列；
（2）若數列滿足，是數列的前項和，求
答案：（1）
（2）當時，極限為；
當時，極限不存在。
例6、用水洗清一堆蔬菜上殘留的農藥，對用一定量的清洗一次的效果作如下假設：用乙個單位量的水可洗掉蔬菜上殘留農藥量的，用水越多洗掉的農藥量也越多，但總還有農藥殘留在蔬菜上，設用單位量的水清洗一次以後，蔬菜上殘留的農藥量與本次清洗前殘留的農藥量之比為函式
（1）試規定的值，並解釋其實際意義；
（2）試根據假設寫出函式應該滿足的條件和具有的性質；
（3）設，現有單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2分後清洗兩次，試問哪種方案清洗後蔬菜上殘留的農藥量比較少，說明理由.
(2011上海高考）
答案：（1）表示沒有用水洗時蔬菜上的農藥量將保持原樣；
（2）在上單調遞減，且
（3）當時，清洗兩次後殘留的農藥量較少；
當時，兩次清洗方法具有相同的效果；
當時，一次清洗殘留的農藥量較少。
例7、已知常數，在矩形abcd中，，為的中點，點分別在上移動，且，為與的交點（如圖）。問是否存在兩個定點，使到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的座標及此定值；若不存在，請說明理由。
答案：以o為座標原點建立直角座標系，可得
當時，點p的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩個點；
當時，點p的軌跡為橢圓的一部分，點p到該橢圓焦點的距離的和為定長；
當時，點p到橢圓兩個焦點的距離和為定值；
當時，點p到橢圓兩個焦點的距離之和為定值。
自我測試作業：
1、已知函式，求使為負值的的取值範圍。
答案：（1）若，則；
（2）若，則；
（3）若，則
2、在平面上給定曲線，設點a的座標為，曲線上的點p到a的距離的最小值為，並寫出的函式表示式。
答案：3、求同時滿足下列條件的拋物線方程：（1）準線是軸；（2）頂點在軸上；（3）點到拋物線上的點的距離的最小值為2.
答案：（1）當時，
（2）當時，
4、直線與分別交橢圓於和四點。（1）用a,b,表示四邊形的面積；
2）當在上變化時，求的最大值。
答案：（1）；
（2）當時，，
當時，，在上單調遞減，時，
5、設是方程的兩根，求（用含的解析式表示）
答案：當或時，；
當時，；
當時，。
6、已知函式，
（1）試求它的反函式，並指出它的定義域；
（2）設正數數列的前項和，且，求數列的通項公式；
（3）設，求的值。
答案：（1）；
（2）；
（3）當時，極限為；
當時，極限為；
當時，極限不存在；
當時，極限為2.
7、設為實數，函式
（1）討論的奇偶性；
（2）求的最小值。
答案：（1）當時，偶函式；當時，非奇非偶函式；
（2）當時，，當時，，當時，且；
當時，函式，當時，，當時，。
8、在空間直角座標系中，在軸上，原點是線段的中點，，點的座標為，點在平面上，使得，並且是含角的直角三角形，求向量的座標，向量與向量的夾角。
答案：四種情況：
（1）；（2）；
（3）；（4）
9、在何範圍內，對任意實數都成立。
答案：10、已知函式，求實數的值。
答案：或
11、正三稜柱底面一邊的長為，側稜長為，過底面的一邊作乙個截面與底面所成的二面角為，求此截面面積。
答案：當，；當，
12、當時，不等式恆成立，求的取值範圍。
答案：13、設集合，集合，若，求的取值範圍。
答案：14、動點到兩個定點連線的斜率之積為，求動點的軌跡方程，並討論當值在內變化時曲線的變化情況。
答案：當時，焦點在軸上的雙曲線；
當時，軸；
當時，焦點在軸上的橢圓；
當時，圓；
當時，焦點在軸上的橢圓。
數學思想方法 分類討論 教學體會
黃振引數廣泛地存在於中學數學的各類問題中，也是近幾年來高考重點考查的熱點問題之一。以命題的條件和結論的結構為標準，含引數的問題可分為兩種型別，一種型別的問題是根據引數在允許值範圍內的不同取值 或取值範圍 去探求命題可能出現的結果，然後歸納出命題的結論 另一種型別的問題是給定命題的結論去探求引數的取值...
高中數學思想方法之「分類討論思想」
a.b.c.d.2.若，且，則實數中的取值範圍是 ab.cd.3 已知集合,若，則實數的取值的集合是 abc.d.4.一條直線過點 5，2 且在x軸，y軸上截距相等，則這直線方程為 ab.c.d.5.若 a.1bc.d.不能確定 6.函式的圖象與軸的交點至少有乙個在原點的右側，則實數的取值範圍為 a...
分類討論的思想方法 1應用篇
應用篇 一 知識要點概述 1.分類討論的思想方法的原理及作用 在研究與解決數學問題時，如果問題不能以統一的同一種方法處理或同一種形式表述 概括，可根據數學物件的本質屬性的相同和不同點，按照一定的原則或某一確定的標準，在比較的基礎上，將數學物件劃分為若干既有聯絡又有區別的部分，然後逐類進行討論，再把這...