專題一分類討論思想
一：概述：
根據研究物件的本質屬性的差異，將所研究的問題分為不同種類的思想叫做分類思想．將事物進行分類，然後對劃分的每一類分別進行研究和求解的方法叫做分類討論．
通常分類討論的題型有：
1、問題所涉及到的數學概念是分類進行定義的.如|a|的定義分a>0、a＝0、a<0三種情況.，一元二次方程的二次項係數不等於0等，這種分類討論題型可以稱為概念型
2、問題中涉及到的數學定理、公式和運算性質、法則有範圍或者條件限制，或者是分類給出的.如討論一次函式ｙ＝ｋｘ＋ｂ（k≠0）的增減性，要分k＜0和k＞0兩種情況.這種分類討論題型可以稱為性質型.
3、解含有字母係數（引數）的題目時，必須根據引數的不同取值範圍進行討論.如解不等式ax>2時分a>0、a＝0和a<0三種情況討論.這稱為含參型.
4.某些不確定的數量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結論等，都要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性，在這種題目中，有三角形中的位置問題，四邊形中的位置問題，圓中的位置問題，相似圖形中的對應邊的問題，我們稱之為圖形的分類討論問題。
分類思想是我們數學中一種非常重要,也是很常見的思想, 在中考中，命題者經常利用分類討論題來加大試卷的區分度.解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論物件以及所討論物件的全體的範圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統
一、不漏不重、分類互斥（沒有重複）；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；最後進行歸納小結，綜合得出結論.
分類的原則：（1）分類中的每一部分是相互獨立的；（2）一次分類按乙個標準；（3）分類討論應逐級進行．
二：【例題與練習】
第一課時
考點1. 概念型分類
例1．例2、已知關於x的方程(k2－1)x2－2(k＋1)x＋1＝0有實數根，求k的取值範圍
（本題是是一元二次方程和一元一次方程兩種情況討論，答案:k＞－1）
【變式訓練】
1、 已知
2、若a、b在互為倒數，b、c互為相反數，m的絕對值為 1，則=______.
3、一組資料2，3，4，x中，若中位數與平均數相等，則數x不可能是
a、1b、2c、3d、5
4、若函式y＝則當函式值y＝8時，自變數x的值是 .
5、已知函式y＝(k－3)x2＋2x＋1的圖象與x軸有交點，則k的取值範圍是( )
a、k＜4 b、k≤4 c、k＜4且k≠3 d、k≤4且k≠3
考點2. 性質型
例1、已知一次函式y=kx+b，當－3≤ｘ≤1時，對應y的值為1≤y≤9.求ｋ·ｂ的值.
【變式訓練】
1、在同一座標系中，正比例函式與反比例函式的圖象的交點的個數是（ ）
a、0個或2個 b、l個 c、2個 d、3個
2、若直線與兩座標軸圍成的三角形的面積是5，則b的值為（ ）
3、當a≠0時，函式y＝ax＋1與函式y＝在同一座標系中的圖象可能是( )
4、函式y=ax2-ax+3x+1與x軸只有乙個交點，求a的值與交點座標。
考點3. 含參型.
例題1、已知a＝a ＋2，b＝a 2－a＋5，c＝a 2＋5a－19，其中a＞2．求證：b－a＞0，
並指出a與b的大小關係； 指出a與c哪個大？說明理由．
解: (1) ∵ b－a＝（a－1）2+2 ＞0 ∴ b＞a
（2）c－a＝（a＋7）(a－3)
∵ a＞2， ∴ a＋7＞0
∴當2＜a＜3時， a＞c
當a＝3時， a＝c
當a＞3時， a＜c
【變式訓練】
1、 解方程 （a-2）x=42、解不等式 （a-3）x>5
變式練習：
1、反比例函式y1＝和正比例函式y2＝k2x 的圖象交於
a(－1，－3)， b(1,3)兩點，若＞k2x，則x的取值範圍是( )
a、－1＜x＜0 b、－1＜x＜1 c、x＜－1或0＜x＜1 d、－1＜x＜0或x＞1
2、若x2+4(m-2)x+16是完全平方式，則m等於（ ）a、6b、 4 c、 0d、 4或0
3、過反比例函式y＝(k≠0)圖象上的一點a，分別作x軸、y軸的垂線， 垂足分別為b，c、若△abc的面積為3，則k的值為________．
4、若函式y＝則當函式值y＝3時，自變數x的值是 .
5、已知（2015-x）2=1，則x=＿＿＿＿
6、已知拋物線y=x2-2（m+1）x+m2與x軸的兩個交點的橫座標均為整數，且m＜5，則整數m的值為 .
7、已知實數a，b分別滿足a2＋2a＝2，b2＋2b＝2，求＋的值．
8、一次函式y＝的圖象分別與x軸、y軸交於a、b兩點，點c(a，0)(a<0)使△abc為等腰三角形，求經過b、c兩點的一次函式解析式．
9、已知 y=kx＋3與兩座標軸圍成的三角形的面積為 24，求其函式解析式．
10、拋物線與y軸交點到原點的距離為3，且過點（1，5）,求這個函式的解析式．
第二課時
考點4.三角形中的位置不確定性
例1．在rt△abc中,ab=6,bc=8,則這個三角形的外接圓直徑是（ ）
a 5 b 10 c 5或4d 10或8
解析：本題對誰是斜邊進行討論，答案：d
例2、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45°，則這個等腰三角形的頂角 °
解析：本題分腰上的高在三角形形內和腰上的高在三角形形外兩種情況，答案 45°和135°；
【變式訓練】
1、 乙個等腰三角形的乙個外角等於110°，則這個三角形的三個角應該為
2、若等腰三角形中有乙個角等於50°，則這個等腰三角形的頂角的度數為（ ）
a、50° b、80° c、65°或50° d、50°或80°
3、某等腰三角形的兩條邊長分別為3cm和6cm，則它的周長為（ ）
a、9cm b、12cm c、15cm d、12cm或15cm
4、已知三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x2－6x＋8＝0的解，則這個三角形的周長是
a、11 b、13 c、11或13 d、11和13
5、在△abc中 ，ab＝ac＝12 cm，bc＝6 cm，d為bc的中點，動點p從b點出發，以每秒1 cm的速度沿b→a→c的方向運動，設運動的時間為t秒，過d、p兩點的直線將△abc的周長分成兩個部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那麼t的值為________．
6、△abc是半徑為2cm的圓的內接三角形，若bc= cm,則角a的度數是
考點5.四邊形中的位置不確定性
例1、菱形有一內角為120°,有一條對角線為6cm,則此菱形的邊長為cm.
解析：本題分6cm是較短的對角線和6cm是較長的對角線兩種情況，
答案 6cm或cm；
例2、已知正方形abcd中，點e在邊dc上，de＝2，ec＝1，如圖所示．把線段ae繞點a旋轉，使點e落在直線bc上的點f處，則f、c兩點的距離為_______．
解析:題目裡只說「旋轉」，並沒有說順時針還是逆時針，
而且說的是「直線bc上的點」，所以有兩種情況如圖所示：
旋轉得到f1點，則f1c＝1；
旋轉得到f2點，則f2b＝de＝2，f2c＝f2b＋bc＝5.
答案 1或5
【變式訓練】
1、矩形乙個內角的平分線分矩形一邊長為1cm和3cm兩部分，則這個矩形的面積為____cm2.
2、在平面直角座標系中，已知二次函式的影象與x軸相交於點a、b，頂點為c，點d在這個二次函式影象的對稱軸上，若四邊形是乙個a、b、c、d為頂點的邊長為2且有乙個內角為60°的菱形，求此二次函式的表示式.
考點6.圓中的位置不確定性
例1、如圖，點a、b在直線mn上，ab＝11 cm，⊙a、⊙b的半徑均為1 cm，⊙a以每秒2 cm的速度自左向右運動，與此同時，⊙b的半徑也不斷增大，其半徑r(cm)與時間t(秒)之間的關係式為r＝1＋t(t≥0)，當點a出發後秒兩圓相切．
解析兩圓相切可分為如下四種情況：①當兩圓第一次外切，由題意可得11－2t＝1＋1＋t，t＝3；②當第一次內切，由題意，可得11－2t＝1＋t－1，t＝；③當第二次內切，由題意，可得2t－11＝1＋t－1，t＝11；④當第二次外切，由題意，可得2t－11＝1＋t＋1，t＝13.所以，點a出發後3秒或秒或11秒或13秒兩圓相切．答3或或11或13
【變式訓練】
1、已知⊙o的直徑ab＝40，弦cd⊥ab於點e，且cd＝32，則ae的長為
a、12b、8c、12或28 d、8或32
2、圓心距為2的兩圓相切，其中乙個圓的半徑為1，則另乙個圓的半徑為( )
a、1b、3c、1或2d、1或3
3、⊙o的半徑為5㎝，弦ab∥cd，ab=6㎝，cd=8㎝，則ab和cd的距離是（ ）
a、7b、8c、7㎝或1㎝ d、1㎝
4、已知⊙o的半徑為2，點p是⊙o外一點，op的長為3，那麼以p這圓心，且與⊙o相切的圓的半徑一定是（ ）
a、1或5b、1c、5d、1或4
5、圓心距為2的兩圓相切，其中乙個圓的半徑為1，則另乙個圓的半徑為( )
a、1b、3c、1或2d、1或3
36分類討論思想
分類討論思想就是根據所研究物件的性質差異，分各種不同的情況予以分析解決.分類討論題覆蓋知識點較多，利於考查學生的知識面 分類思想和技巧 同時方式多樣，具有較高的邏輯性及很強的綜合性，樹立分類討論思想，應注重理解和掌握分類的原則 方法與技巧 做到 確定物件的全體，明確分類的標準，分層別類不重複 不遺漏...
備考名校數學思想方法專題 03分類與討論
第一講轉化與劃歸 明方向 1 轉化 是解決數學問題的重要思想方法之一。有些數學問題，本身並無明顯的函式關係，但經分析，可找到乙個函式或構造乙個函式，通過對此函式的研究，打通解題思路。2 在解題時，可直接運用方程性質，或建立方程去解決問題，但注意構建的方程必修恰當 準確。3 對一些不能由問題的條件直接...
考點跟蹤訓練44分類討論型問題
一 選擇題 1 如圖，點a的座標是 2,2 若點p在x軸上，且 apo是等腰三角形，則點p的座標不可能是 a 4,0b 1,0 c 2，0d 2,0 答案 b 解析當p點座標為 4,0 時，點a在op的中垂線上，oa pa 當p點座標為 2，0 時，op oa 2 當p點座標為 2,0 時，op a...