分類討論專題
在數學中，我們常常需要根據研究物件性質的差異，分各種不同情況予以考查．這種分類思考的方法是一種重要的數學思想方法，同時也是一種解題策略．
分類是按照數學物件的相同點和差異點，將數學物件區分為不同種類的思想方法，掌握分類的方法，領會其實質，對於加深基礎知識的理解．提高分析問題、解決問題的能力是十分重要的．正確的分類必須是周全的，既不重複、也不遺漏．
分類的原則：
（1）分類中的每一部分是相互獨立的；
（2）一次分類按乙個標準；
（3）分類討論應逐級有序進行．
（4）以性質、公式、定理的使用條件為標準分類的題型.
綜合中考的複習規律，分類討論的知識點可分為三大類：
1. 代數類：代數有絕對值、方程及根的定義，函式的定義以及點（座標未給定）所在象限等.
2. 幾何類：幾何有各種圖形的位置關係，未明確對應關係的全等或相似的可能對應情況等.
3. 綜合類：代數與幾何類分類情況的綜合運用.
代數類考點1 與數與式有關的分類討論
1. 化簡：|x-1|+|x-2|
2. 已知α、β是關於x的方程x2+x+a=0的兩個實根。
(1)求a的取值範圍；
(2)試用a表示|α|+|β|。
3. 代數式的所有可能的值有（ ）
a. 2個b. 3個c. 4個 d. 無數個
考點2 與方程有關的分類討論
4. 解方程：①（a-2）x=b-1試解關於x的方程
5. 關於x的方程有實數根，則k的取值範圍是（）
a．b. < d. k≥
6. 已知關於x的方程
（1）若方程有實數根，求k的取值範圍
（2）若等腰三角形abc的邊長a=3，另兩邊b和c恰好是這個方程的兩個根，求δabc的周長.
考點3 函式部分
7. 一次函式時，對應的y值為，則kb的值是（ ）。
a. 14bc.或21d.或14
8. 設一次函式的圖象不經過第一象限，求a的取值範圍。
9. 比較一次函式與二次函式的函式值y1與y2的大小。
10. 圖9是二次函式的圖象，其頂點座標為m(1,-4).
（1）求出圖象與軸的交點a,b的座標；
（2）將二次函式的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其餘部分保持不變，
得到乙個新的圖象，請你結合這個新的圖象回答：當直線與此圖象有兩個公共點時，的取值範圍.
【變式】就的取值範圍，討論.直線與此圖象有公共點的個數
幾何類1、與等腰三角形有關的分類討論
考點4 與角有關的分類討論
1. 已知等腰三角形的乙個內角為75°則其頂角為________
考點5 與邊有關的分類討論
1. 已知等腰三角形的一邊等於5，另一邊等於6，則它的周長等於
考點6 與高有關的分類討論
1. 一等腰三角形的一腰上的高與另一腰成35°，則此等腰三角形的頂角是________度.
2. 等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為45°，這個等腰三角形的頂角是______度.
3. 為美化環境，計畫在某小區內用的草皮鋪設一塊一邊長為10的等腰三角形綠地，請你求出這個等腰三角形綠地的另兩邊長.
4. 如圖，在網格圖中找格點m，使△mpq為等腰三角形.並畫出相應的△mpq的對稱軸.
考點7 綜合應用
1. 在直角座標系中，o為座標原點，已知a（－2，2），試在x軸上確定點p，使△aop為等腰三角形，求符合條件的點p的座標
2. 如圖，在平面直角座標系xoy中，分別平行x、y軸的兩直線a、b相交於點a(3，4)．連線oa，若在直線a上存在點p，使△aop是等腰三角形．那麼所有滿足條件的點p的座標是
3. 直角座標系中，已知點p（－2，－1），點t（t，0）是x軸上的乙個動點.
(1) 求點p關於原點的對稱點的座標；（2）當t取何值時，△to是等腰三角形？
2、與圓有關的分類討論
圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，還具有旋轉不變性，圓的這些特性決定了關於圓的某些問題會有多解.
考點8 由於點與圓的位置關係的不確定而分類討論
1. 已知點p到⊙o的最近距離為3cm，最遠距離為13cm，求⊙o的半徑.
考點9 由於點在圓周上位置關係的不確定而分類討論
1. a、b是⊙o上的兩點，且∠aob=136o，c是⊙o上不與a、b重合的任意一點，則∠acb的度數是
考點10 由於弦所對弧的優劣情況的不確定而分類討論
1. 已知橫截面直徑為100cm的圓形下水道，如果水面寬ab為80cm，求下水道中水的最大深度.
考點11 由於兩弦與直徑位置關係的不確定而分類討論
1. ⊙o的直徑ab=2，過點a有兩條弦ac=，ad=，求∠cad的度數.
考點12 由於直線與圓的位置的不確定而分類討論
1. 已知在直角座標系中，半徑為2的圓的圓心座標為（3，-3），當該圓向上平移個單位時，它與軸相切.
2. 如圖，直線與x軸，y軸分別交於點m，n
（1）求m，n兩點的座標；
（2）如果點p在座標軸上，以點p為圓心，為半徑的圓與直線相切，求點p的座標.
考點13 由於圓與圓的位置的不確定而分類討論
1. 已知⊙o1與⊙o2相切，⊙o1的半徑為3 cm，⊙o2的半徑為2 cm，則o1o2的長是 cm ．
2. 如圖，在8×4的方格（每個方格的邊長為1個單位長）中，⊙a的半徑為1，⊙b的半徑為2，將⊙a由圖示位置向右平移個單位長後，⊙a與⊙b相切．
3. 如圖，小圓的圓心在原點，半徑為3，大圓的圓心座標為(a，0)，半徑為5，如果兩圓內含，那麼a的取值範圍是
4. 在直角座標平面內，為原點，點的座標為（1，0），點的座標為（0，4），直線軸（如圖7所示）．點與點關於原點對稱，直線（為常數）經過點，且與直線cm相交於點d，聯結od．
（1）求的值和點d的座標；
（2）設點p在軸的正半軸上，若△pod是等腰三角形，求點的座標；
（3）在（2）的條件下，如果以pd為半徑的⊙與⊙外切，求⊙的半徑．
3、與直角三角形有關的分類討論
1. 已知點m（0，1），n（0，3），在直線y=2x＋4上找一點p使△mpn為直角三角形，求點p的座標.
2. 如圖，已知拋物線c1：的頂點為p，與x軸相交於a、b兩點（點a在點b的左邊），點b的橫座標是1．
（1）求p點座標及a的值；
（2）如圖（1），拋物線c2與拋物線c1關於x軸對稱，將拋物線c2向右平移，平移後的拋物線記為c3，c3的頂點為m，當點p、m關於點b成中心對稱時，求c3的關係式；（3）如圖（2），點q是x軸正半軸上一點，將拋物線c1繞點q旋轉180°後得到拋物線c4．拋物線c4的頂點為n，與x軸相交於e、f兩點（點e在點f的左邊），當以點p、n、f為頂點的三角形是直角三角形時，求點q的座標．
4、與相似三角形有關的分類討論
考點14 對應邊不確定
1. 如圖，已知矩形abcd的邊長ab=3cm,bc=6cm.．某一時刻，動點m從a點出發沿ab方向以1cm／s的速度向b點勻速運動；同時，動點從d點出發沿da方向以2cm／s的速度向a點勻速運動，問：
是否存在時刻t，使以a,.m,n為頂點的三角形與δacd相似？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．
考點15 對應角不確定
1. 如圖1，∠a=500，∠b=600，一直線l與△abc的邊ac、ab邊相交於點d、e兩點，當∠ade為________度時，△abc與△ade相似.
考點16 圖形的位置不確定
1. 在平面直角座標系中，已知點p（－2，－1）. 過p作y軸的垂線pa,垂足為a.
點t為座標軸上的一點.若以p，o，t 為頂點的三角形與△aop相似,請寫出點t的座標?
【變式】 若點t在第四象限,請寫出點t的座標.
2. 如圖1，在等腰梯形abcd中，ad∥bc，e是ab的中點，過點e作ef∥bc交cd於點f．ab＝4，bc＝6，∠b＝60°．
（1）求點e到bc的距離；
（2）點p為線段ef上的乙個動點，過p作pm⊥ef交bc於點m，過m作mn∥ab交折線adc於點n，鏈結pn，設ep＝x．
①當點n**段ad上時（如圖2），△pmn的形狀是否發生改變？若不變，求出△pmn的周長；若改變，請說明理由；
②當點n**段dc上時（如圖3），是否存在點p，使△pmn為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請說明理由．
課下鞏固練習
一、填空題：
1. 已知ab是圓的直徑，ac是弦，ab＝2，ac＝，弦ad＝1，則∠cad＝ ．
2. 直角三角形的兩條邊長分別為6和8,那麼這個三角形的外接圓半徑等於 .
3. 已知兩圓內切，乙個圓的半徑是3，圓心距是2，那麼另乙個圓的半徑是________．
4. 等腰三角形的乙個內角為70°，則其頂角為______．
5. 在方格紙中，每個小格的頂點稱為格點，以格點連線為邊的三角形叫格點三角形.在如圖3中5×5的方格中，作格點△abc和△oab相似(相似比不為1)，則點c的座標是_____.
二、選擇題：
1. 若等腰三角形的乙個內角為500，則其他兩個內角為
a．500 ，80o b．650， 650 c．500 ，650d．500，800或 650，650
2. 若
a．5或－1 b．－5或1; c．5或1d．－5或－1
3. 等腰三角形的一邊長為3cm，周長是13cm，那麼這個等腰三角形的腰長是（ ）
a．5cm b.3cm c．5cm或3cm d．不確定
4. 若⊙o的弦 ab所對的圓心角∠aob=60°，則弦ab所對的圓周角的度數為（ ）
a．300 b、600 c．1500 d．300或 1500
5. 若⊙o所在平面內一點p到⊙o上的點的最大距離為a，最小距離為b(a>b)，則此圓的半徑為（ ）
a. b. c.或 d. a+b或a-b
二、解答題：
1. 在δabc中，∠bac＝90°，ab＝ac＝，圓a的半徑為1，如圖所示，若點o在bc邊上運動，（與點b和c不重合），設bo＝x，δaoc的面積為.
（1）求關於的函式關係式.
（2）以點o為圓心，bo長為半徑作圓o，求當圓o與圓a相切時δaoc的面積.
2. 在直角座標系xoy中，o為座標原點，a、b、c三點的座標分別為a（5，0），b（0，4），c（－1，0），點m和點n在x軸上，（點m在點n的左邊）點n在原點的右邊，作mp⊥bn，垂足為p（點p**段bn上，且點p與點b不重合）直線mp與y軸交於點g，mg＝bn.
（1）求點m的座標.
（2）設on＝t，△mog的面積為s，求s與t的函式關係式，並寫出自變數t的取值範圍.
（3）過點b作直線bk平行於x軸，在直線bk上是否存在點r，使△ora為等腰三角形？若存在，請直接寫出r的座標；若不存在，請說明理由.
3. 如圖，以矩形oabc的頂點o為原點，oa所在的直線為x軸，oc所在的直線為y軸，建立平面直角座標系．已知oa＝3，oc＝2，點e是ab的中點，在oa上取一點d，將△bda沿bd翻摺，使點a落在bc邊上的點f處．
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上海中考數學「分類討論題」
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