第七講數列求和
★★★高考在考什麼
【考題回放】
1.設，則等於（ d ）
a. b. c. d.
2. 等差數列中，a1=1,a3+a5=14，其前n項和sn=100,則n=（ b ）
a．9 b．10 c．11 d．12
3.）數列的前項和為，若，則等於（ b ）
a．1 b． c． d．
4.設sn是等差數列｛an｝的前n項和，若＝，則＝
abcd.
解析:由等差數列的求和公式可得且
所以,故選a
5.已知數列、都是公差為1的等差數列，其首項分別為、，且，．設（），則數列的前10項和等於（ ）
a．55 b．70 c．85 d．100
解：數列、都是公差為1的等差數列，其首項分別為、，且，．設（），則數列的前10項和等於=，，∴
=，選c.
6.對正整數n，設曲線在x＝2處的切線與y軸交點的縱座標為，則數列的前n項和的公式是
解：，曲線y=xn(1-x)在x=2處的切線的斜率為k=n2n-1-(n+1)2n
切點為（2，-2n）,所以切線方程為y+2n=k(x-2),令x=0得 an=(n+1)2n,令bn=.數列的前n項和為2+22+23+…+2n=2n+1-2
★★★高考要考什麼
1．直接用等差、等比數列的求和公式求和。
公比含字母時一定要討論
(理)無窮遞縮等比數列時，
2．錯位相減法求和：如：
3．分組求和：把數列的每一項分成若干項，使其轉化為等差或等比數列，再求和。
4．合併求和：如：求的和。
5．裂項相消法求和：把數列的通項拆成兩項之差、正負相消剩下首尾若干項。
常見拆項
6．公式法求和
7．倒序相加法求和
★ ★★ 突破重難點
【範例1】設數列滿足，．
（ⅰ）求數列的通項； （ⅱ）設，求數列的前項和．
解 (i)
驗證時也滿足上式，
(ii)， ①
②【變式】已知二次函式的影象經過座標原點，其導函式為，數列的前n項和為，點均在函式的影象上。（ⅰ）、求數列的通項公式；
（ⅱ）、設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數m；
點評：本小題考查二次函式、等差數列、數列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題的能力和推理能力。
解：（ⅰ）設這二次函式f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,則 f`(x)=2ax+b,由於f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因為點均在函式的影象上，所以＝3n2－2n.
當n≥2時，an＝sn－sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.
當n＝1時，a1＝s1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）
（ⅱ）由（ⅰ）得知＝＝，
故tn＝＝＝（1－）.
因此，要使（1－）<（）成立的m,必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數m為10.
【範例2】已知數列中的相鄰兩項是關於的方程的兩個根，且．
（）求，，，； （）求數列的前項和；
（ⅲ）(理)記，，
求證：．
（i）解：方程的兩個根為，，
當時，，所以；
當時，，，所以；
當時，，，所以時；
當時，，，所以．
（ii）解： ．
（iii）證明：，
所以，．
當時，，
，同時，
．綜上，當時，．
【變式】在數列中，，，．
（ⅰ）證明數列是等比數列；
（ⅱ）求數列的前項和；
（ⅲ）證明不等式，對任意皆成立．
解、（ⅰ）證明：由題設，得，．
又，所以數列是首項為，且公比為的等比數列．
（ⅱ）解：由（ⅰ）可知，於是數列的通項公式為．
所以數列的前項和．
（ⅲ）證明：對任意的，
．所以不等式，對任意皆成立．
【點睛】本題以數列的遞推關係式為載體，主要考查等比數列的概念、等比數列的通項公式及前項和公式、不等式的證明等基礎知識，考查運算能力和推理論證能力．
【範例3】已知a1=2，點(an,an+1)在函式f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，…
（1） 證明數列｛lg(1+an)｝是等比數列；
（2） 設tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求tn及數列｛an｝的通項；
（3） 記bn=，求｛bn｝數列的前項和sn，並證明sn+=1.
解：（ⅰ）由已知兩邊取對數得
，即是公比為2的等比數列.
（ⅱ）由（ⅰ）知
由（*）式得
（ⅲ） 又又.
【變式】已知數列滿足，並且（為非零引數，）．
（ⅰ）若成等比數列，求引數的值；
（ⅱ）設，常數且．證明．
解：（i）由已知且
若、、成等比數列，則即而解得
（ii）證明：設由已知，數列是以為首項、為公比的等比數列，故則
因此，對任意
當且時，所以
高考數學分類複習之數列常見方法的複習
1 已知數列滿足 1 2 3 4 5 已知數列的前項和為且，求以上數列的通項公式 2 等差數列中，求 3 求以下數列的前項和 1 23 4 已知是等比數列的前項和，公比，如果則 5 等比數列的前項和為，已知，成等差數列，則的公比為 二 典型例題 1 等差數列中，sn表示其前n項之和，s10 s8 a...
高考數學分類複習專題複習理科概率
一 填空題 1 若的展開式中含有常數項，則最小的正整數等於 2 已知，則的值等於 3 從5位同學中選派4位同學在星期 五 星期 六 星期日參加公益活動，每人一天，要求星期五有2人參加，星期 六 星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有 4 的展開式中常數項為 5 的展開式中，常數項為，則 6 從班委...
高考數學分類專題複習之22空間位置關係與證明
專題22 空間位置關係與證明 高考在考什麼 考題回放 1 浙江 若是兩條異面直線外的任意一點，則 b a 過點有且僅有一條直線與都平行 b 過點有且僅有一條直線與都垂直 c 過點有且僅有一條直線與都相交 d 過點有且僅有一條直線與都異面 2 06湖南 如圖，過平行六面體abcd a1b1c1d1任意...