2009高考數學解答題專題攻略----數列
一、08高考真題精典回顧：
1.（全國一22）．（本小題滿分12分）
設函式．數列滿足，．
（ⅰ）證明：函式在區間是增函式；
（ⅱ）證明：；
（ⅲ）設，整數．證明：．
解析：（ⅰ）證明：，
故函式在區間(0,1)上是增函式；
（ⅱ）證明：（用數學歸納法）（i）當n=1時，，，
由函式在區間是增函式，且函式在處連續，則在區間是增函式，，即成立；
（ⅱ）假設當時，成立，即
那麼當時，由在區間是增函式，得
.而，則，
，也就是說當時，也成立；
根據（ⅰ）、（ⅱ）可得對任意的正整數，恆成立.
（ⅲ）證明：由．可得
1.若存在某滿足，則由⑵知：
2.若對任意都有，則
，即成立.
2.（全國二20）．（本小題滿分12分）
設數列的前項和為．已知，，．
（ⅰ）設，求數列的通項公式；
（ⅱ）若，，求的取值範圍．
解：（ⅰ）依題意，，即，
由此得． 4分
因此，所求通項公式為
，．① 6分
（ⅱ）由①知，，
於是，當時，，，
當時，．
又．綜上，所求的的取值範圍是． 12分
3.（四川卷20）．（本小題滿分12分）
設數列的前項和為，已知
（ⅰ）證明：當時，是等比數列；
（ⅱ）求的通項公式
解：由題意知，且
兩式相減得
即 ①
（ⅰ）當時，由①知
於是又，所以是首項為1，公比為2的等比數列。
（ⅱ）當時，由（ⅰ）知，即
當時，由由①得因此得
二、09高考數列分析與**：
數列是高中數學的重要內容之一，也是高考考查的重點。而且往往還以解答題的形式出現，所以我們在複習時應給予重視。近幾年的高考數列試題不僅考查數列的概念、等差數列和等比數列的基礎知識、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了學生的各種能力。
解答題大多以考查數列內容為主，並涉及到函式、方程、不等式知識的綜合性試題，在解題過程中通常用到等價轉化，分類討論等數學思想方法，是屬於中高檔難度的題目.
有關數列題的命題趨勢
（1）有關數列的基本問題，這類題圍繞等差、等比數列的基本知識、基本公式、基本性質命題，難度不大，考生應注意基本方法的訓練，靈活運用相關性質。
（2）數列是特殊的函式，而不等式則是深刻認識函式和數列的重要工具，三者的綜合求解題是對基礎和能力的雙重檢驗，而三者的求證題所顯現出的代數推理是近年來高考命題的新熱點
（3）數列推理題是新出現的命題熱點.以往高考常使用主體幾何題來考查邏輯推理能力，近兩年在數列題中也加強了推理能力的考查。
（4）與導數、平面向量、概率等新知識相結合也不可忽視。
複習關鍵點：
(1)理解數列的概念，特別注意遞推數列，熟練掌握等差數列、等比數列的性質、公式及公式的延伸，應用性質解題，往往可以迴避求首項和公差或公比，使問題得到整體解決，能夠減少運算量，應引起考生重視。
(2)解決數列綜合問題要注意函式思想、分類論思想、等價轉化思想等。注重數列與函式、方程、不等式、解析幾何等其他知識的綜合。
(3)重視遞推數列和數列推理題的複習。
(4)數列應用題注意增長率、銀行信貸、養老保險、環保、土地資源等，首先要分析題意，建立數列模型，再利用數列知識加以解決。
不管數列與哪一部分知識內容交匯，數列自身的內容仍是考生重點掌握的。對數列自身來講，主要有以**型：
一、求數列的通項公式，主要方法有：（1）利用與的關係
（2）利用遞推關係包括累加法，累乘法，構造數列
二、求數列的前n項和，主要方法有：（1）倒序相加法（2）錯位相減法（3）裂項法（4）分組法
三、判斷乙個數列是等比或等差數列，完全依據等差、等比數列的定義進行證明。
這是解決好數列問題的重中之重.
三、高考熱點新題：
1.設是正項數列的前項和，且．
（1）求數列的通項公式；
（2）是否存在等比數列，使對一切正整數都成立？並證明你的結論．
（3）設，且數列的前項和為，試比較與的大小．
2.已知數列滿足關係：
，（1）求證：數列是等比數列；
（2）證明：；
（3）設是數列的前n項和，當時，是否有確定的大小關係？若有，加以證明；若沒有，請說明理由。
3.已知正項數列滿足對一切,有，其中.
(ⅰ)求數列的通項公式;
(ⅱ) 求證: 當時, .
4．某企業2023年的純利潤為500萬元，因裝置老化等原因，企業的生產能力將逐年下降.若不能進行技術改造，**從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業一次性投入資金600萬元進行技術改造，**在未扣除技術改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤為500(1+)萬元（n為正整數）.
（1）設從今年起的前n年，若該企業不進行技術改造的累計純利潤為an萬元，進行技術改造後的累計純利潤為bn萬元（須扣除技術改造資金），求an、bn的表示式；
（2）依上述**，從今年起該企業至少經過多少年，進行技術改造後的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤？
5.已知數列滿足：，且
（1）設，證明數列是等差數列；
（2）求數列、的通項公式；
（3）設，為數列的前項和，證明.
6.設等差數列前項和滿足，且，s2=6；函式，且
（1）求a；
（2）求數列的通項公式；
（3）若
四、高考熱點新題參***：
1解：（1）得
，相減並整理為
又由於，則，故是等差數列．
，，故（2）當時，
可解得，，猜想使
成立下面證明恆成立
令 ①
② ②－①可得
（3）則
，故說明：本題主要考查數列通項公式的求法，數列和的求法以及不等式的內容。涉及運算能力，邏輯思維能力，猜想能力等
2解：（1）
故是等比數列。
（2）由及：
（3）當時，
相加得：
故時，.
3解：(ⅰ)對一切有，
即 ,
由及兩式相減,
得:∴是等差數列,且
說明:本小題也可以運用先猜後證(數學歸納法)的方法求解.
(ⅱ) 由,知,因此,只需證明
當或時,結論顯然成立.當時,
所以,原不等式成立.
4.本題主要考查等差數列與等比數列、函式性質等基礎知識，考查運算求解能力和資料處理能力，考查函式與方程思想和應用意識.
解: (1)依題意知，數列是乙個以500為首項，－20為公差的等差數列，所以，＝
＝＝ (2)依題意得，，即，
化簡得，
可設，又，可設是減函式，是增函式，
又,則時不等式成立，即4年
答：略5解：(1) ,
為等差數列
(2)由(1),從而
(3),當時,,不等式的左邊=7,不等式成立
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故只要證
如下用數學歸納法給予證明:
①當時,,時,不等式成立;
②假設當時,成立
當時,只需證: ,即證:
令,則不等式可化為:
即令,則
在上是減函式
又在上連續, ,故
當時,有
當時,所證不等式對的一切自然數均成立
綜上所述,成立.
6解：（1）由而
解得a=1
（2）∵不是常數列∴令
當n=1時，a1=s1=2,當n≥2時，an=sn－sn-1=n2+n
綜合之：an=2n
由題意∴數列是為公比，以為首項的等比數列
（3）當
當綜合之：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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