數列專題複習(全是精華)
一、 證明等差等比數列
1． 等差數列的證明方法：
（1）定義法： (常數) （2）等差中項法：
2．等比數列的證明方法：
（1）定義法： (常數) （2）等比中項法：
例1.設｛an｝為等差數列，sn為數列｛an｝的前n項和，已知s7＝7，s15＝75，
tn為數列｛｝的前n項和，求tn．
解：設等差數列｛an｝的公差為d，則
sn=na1＋n（n－1）d．∴s7＝7，s15＝75，∴即
解得a1＝－2，d＝1．∴＝a1＋（n－1）d＝－2＋（n－1）．
∵，∴數列｛｝是等差數列，其首項為－2，公差為，
∴tn＝n2－n．
例2．設數列的首項a1=1，前n項和sn滿足關係式：
3tsn－（2t+3）sn－1=3t（t>0，n=2，3，4，…）
求證：數列是等比數列；
解：（1）由a1=s1=1，s2=1+a2，得a2=
又3tsn－（2t+3）sn－1=3t ①
3tsn－1－（2t+3）sn－2=3t ②
①－②得3tan－（2t+3）an－1=0 ∴，（n=2，3，…）
所以是乙個首項為1，公比為的等比數列.
練習：已知a1=2，點(an,an+1)在函式f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，…
（1） 證明數列｛lg(1+an)｝是等比數列；
（2） 設tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求tn及數列｛an｝的通項；
答案 .(2),;
二．通項的求法
（1）利用等差等比的通項公式
(2)累加法：
例3．已知數列滿足，，求。
解：由條件知：
分別令，代入上式得個等式累加之，即
所以，（3）構造等差或等比或
例4．已知數列滿足
求數列的通項公式；
解：是以為首項，2為公比的等比數列。
即例5．已知數列中，,，求.
解：在兩邊乘以得：
令，則,解之得：,所以.
練習:已知數列滿足，且。
（1）求； （2）求數列的通項公式。
解： （1）
（2）∴（4）利用
例6．若和分別表示數列和的前項和，對任意正整數
，.求數列的通項公式；
解： ……2分當
當……4分
練習：1. 已知正項數列，其前n項和sn滿足10sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數列，求數列的通項an
解: ∵10sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3
又10sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)
當a1=3時，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比數列∴a1≠3;
當a1=2時， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3
2．設數列的前項的和
， （ⅰ）求首項與通項；
（ⅱ）設，，證明：
解：（i），解得：
所以數列是公比為4的等比數列
所以：得： （其中n為正整數）
（ii）
所以：（5）累積法轉化為，逐商相乘.
例7．已知數列滿足，，求。
解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即
又， 練習：1.已知， ，求。
解： 。
2．已知數列，滿足a1=1， (n≥2)，
則的通項
解：由已知，得，用此式減去已知式，得
當時，，即，又，
，將以上n個式子相乘，得
（6）倒數變形：,兩邊取倒數後換元轉化為。
例8：已知數列｛an｝滿足：，求數列｛an｝的通項公式。
解：取倒數：
是等差數列，
練習：已知數列｛an｝滿足：a1＝，且an＝
求數列｛an｝的通項公式；
解：將條件變為：1－＝，因此｛1－｝為乙個等比數列，其首項為
1－＝，公比，從而1－＝，據此得an＝（n1）
三．數列求和
1、等差數列求和公式：
2、等比數列求和公式：
3、錯位相減法求和
、分別是等差數列和等比數列.
例9． 求和：
解：由題可知，設
…②（設制錯位）
①－②得 （錯位相減）再利用等比數列的求和公式得：。
∴練習： 求數列前n項的和.
解：由題可知，{}的通項是等差數列的通項與等比數列{}的通項之積
設…………② ①－②得
∴4、倒序相加法求和
這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將乙個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個.
5、分組法求和
有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分別求和，再將其合併即可.
例10． 求數列的前n項和：，…
解：設將其每一項拆開再重新組合得
（分組）
當a＝1時，＝（分組求和）
當時，＝
6、裂項法求和
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）
（1）為等差數列，
（2）例11． 求數列的前n項和.
解：設，則
＝例12． 在數列中，，又，求數列的前n項的和.
解： ∵
∴數列的前n項和：
＝＝ 練習：
1．已知數列{}的前項和為，且滿足。求數列{}的通項公式；
解：（1）數列{}的前項和為，且滿足
則 （）
相減得又當n=1時，， ，
{}是以為首項，公比的等比數列
（）2．已知數列：
①求證數列為等差數列，並求它的公差
②設，求。
解：①由條件，
∴；∴故為等差數列，公差②又知∴
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