核心提示：求數列的前n項和要借助於通項公式，即先有通項公式，再在分析數列通項公式的基礎上，或分解為基本數列求和，或轉化為基本數列求和。當遇到具體問題時，要注意觀察數列的特點和規律，找到適合的方法解題。
一.用倒序相加法求數列的前n項和
如果乙個數列，與首末項等距的兩項之和等於首末兩項之和，可採用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到乙個常數列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。我們在學知識時，不但要知其果，更要索其因，知識的得出過程是知識的源頭，也是研究同一類知識的工具，例如：等差數列前n項和公式的推導，用的就是「倒序相加法」。
例題1：設等差數列，公差為d，求證：的前n項和sn=n(a1+an)/2
解：sn=a1+a2+a3+...+an ①
倒序得：sn=an+an-1+an-2+…+a1 ②
①+②得：2sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)
又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1
∴2sn=n(a2+an) sn=n(a1+an)/2
點撥：由推導過程可看出，倒序相加法得以應用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1即與首末項等距的兩項之和等於首末兩項之和的這一等差數列的重要性質來實現的。
二.用公式法求數列的前n項和
對等差數列、等比數列，求前n項和sn可直接用等差、等比數列的前n項和公式進行求解。運用公式求解的注意事項：首先要注意公式的應用範圍，確定公式適用於這個數列之後，再計算。
例題2：求數列的前n項和sn
解：點撥：這道題只要經過簡單整理，就可以很明顯的看出：這個數列可以分解成兩個數列，乙個等差數列，乙個等比數列，再分別運用公式求和，最後把兩個數列的和再求和。
三.用裂項相消法求數列的前n項和
裂項相消法是將數列的一項拆成兩項或多項，使得前後項相抵消，留下有限項，從而求出數列的前n項和。
例題3：求數列(n∈n*)的和
解：點撥：此題先通過求數列的通項找到可以裂項的規律，再把數列的每一項拆開之後，中間部分的項相互抵消，再把剩下的項整理成最後的結果即可。
四.用錯位相減法求數列的前n項和
錯位相減法是一種常用的數列求和方法，應用於等比數列與等差數列相乘的形式。即若在數列中，成等差數列，成等比數列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯位相減整理後即可以求出前n項和。
例題4：求數列(n∈n*)的和
解：設 sn = a + 2a2 + 3a3 + … + nan①
則：asn = a2 + 2a3 + … + (n-1)an + nan+1②
①-②得：(1-a)sn = a + a2 + a3 + … + an - nan+1③
若a = 1則：sn = 1 + 2 + 3 + … + n =
若a ≠ 1則：
點撥：此數列的通項是nan,係數數列是：1，2，3……n，是等差數列；含有字母a的數列是：
a,a2,a3,……，an,是等比數列，符合錯位相減法的數列特點，因此我們通過錯位相減得到③式，這時考慮到題目沒有給定a的範圍，因此我們要根據a的取值情況分類討論。我們注意到當a=1時數列變成等差數列，可以直接運用公式求值；當a≠時，可以把③式的兩邊同時除以（1-a），即可得出結1果。
五.用迭加法求數列的前n項和
迭加法主要應用於數列滿足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差數列或等比數列的條件下，可把這個式子變成an+1-an=f(n)，代入各項，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經過整理，可求出an ，從而求出sn。
例題5：已知數列6,9,14,21,30,……其中相鄰兩項之差成等差數列，求它的前n項和。
解：∵a2 - a1 = 3, a3 - a2 = 5, a4 - a3 = 7 ,…, an - an-1 = 2n-1
把各項相加得：an - a1 = 3 + 5 + 7 + … + (2n - 1) =
∴an = n2 - 1 + a1 = n2 + 5
∴sn = 12 + 22 + … + n2 + 5n =+ 5n
點撥：本題應用迭加法求出通項公式，並且求前n項和時應用到了12 + 22 + … + n2=因此問題就容易解決了。
六.用分組求和法求數列的前n項和
所謂分組求和法就是對一類既不是等差數列，也不是等比數列的數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分別求和，再將其合併。
例題6：求s = 12 - 22 + 32 - 42 + … + (-1)n-1n2(n∈n*)
解：①當n是偶數時：s = (12 - 22) + (32 - 42n - 1)2 - n2]
= - (1 + 2 + … + n) = -
②當n是奇數時：s = (12 - 22) + (32 - 42n - 2)2 - (n - 1)2] + n2
= - [1 + 2 + … + (n - 1)] + n2
= -綜上所述：s = (-1)n+1n(n+1)
點撥：分組求和法的實質是：將不能直接求和的數列分解成若干個可以求和的數列,分別求和。
七.用構造法求數列的前n項和
所謂構造法就是先根據數列的結構及特徵進行分析，找出數列的通項的特徵，構造出我們熟知的基本數列的通項的特徵形式，從而求出數列的前n項和。
例題7：求的和
解：點撥：本題的關鍵在於如何構造出等差或等比數列的特徵的通項，在這道題的解法中巧妙的運用了這一轉化，使得數列的通項具備了等比數列的特徵，從而為解題找到了突破口。
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數列的前n項和的幾種方法
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