福田中學雷鳴
一、知識回顧
1. 公式法:適用於等差、等比數列或可轉化為等差、等比數列的數列。
； （；；）
2.裂項相消法: 這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.
裂項法的實質是將數列中的每項(通項)分解,然後重新組合,使之能消去一些項,最終達到求和的目的.通項分解(裂項)，其基本方法是
（12）
（3）若分別是等差數列，公差是d，則：
（4）例1：求和
解答∵ ∴ 數列的前n項和：
＝＝ 遷移1：求數列的前n項和.
解：設，則
=＝2：《步步高》72頁例題3
3.錯位相減法: 這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用於求數列的前n項和，其中、分別是等差數列和等比數列.
例2：求當時，求和：
解：由題可知該數列的通項為是等差數列的通項與等比數列的通項之積
設…………… ② （設制錯位）
1 ②得 （錯位相減）
再利用等比數列的求和公式得：又
∴遷移2：求數列前n項的和.
解：由題可知，的通項是等差數列的通項與等比數列的通項之積
設設制錯位）
①－②得錯位相減）
4.倒序相加法: 類似於等差數列前n項和公式的推導方法. 就是將乙個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加,就可以得到n個a1+an. 【特點：乙個常數或定值】
例3：求證：
證明： 設
把①式右邊倒轉過來得
反序）又由可得
1 +②得反序相加）
遷移3：求的值
解：設…………. ①
將①式右邊反序得
反序）又因為①+②得反序相加）
＝89∴ ＝44.5
5.分組求和法: 有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分別求和，再將其合併即可.
例4：求數列的前n項和：，…
解：設將其每一項拆開再重新組合得（分組）
當a＝1時，＝（分組求和）
當時，＝
遷移4：求數列前項和
6，合併法求和
針對一些特殊的數列，將某些項合併在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，然後再求.
例5：求
解：觀察數列可知，數列每相鄰兩項的和為乙個定值
，或找特殊性質項）
當為奇數時，數列共有奇數項
合併求和）
當為偶數時，數列共有偶數項
合併求和）
=n遷移5：求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：設＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵ （找特殊性質項）
∴＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90°（合併求和）＝ 0
（二）.常用結論
1）1+2+3+...+n = 2） 1+3+5+...+(2n-1) =
3）4）5）6）二、基本訓練
1.等比數列的前ｎ項和sｎ＝2ｎ－１，則
2.設，則
3.求和
4. 數列1×4，2×5，3×6，…，n×(n+3)，…則它的前n項和
5. 數列的通項公式前n項和
三、例1 、求下列各數列前n項的和
① ②
例2、在數列中，，求s10和s99
例３、已知數列中，，試求前2n項的和
例４、 已知函式（），
（1）求的反函式； （2）若，，求；
（3）若，，…，，…，求數列前n項和。
四、作業
1、等比數列中，已知對任意自然數n，a1＋a2＋a3＋…＋an=2n－1，則
a12＋a22＋a32＋…+an2等於
(a) (bcd)
2、等差數列的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為
(a)130b)170c)210d)260
3、求和
4、數列的前n項和是
5、 數列１，3q，5q2，7q3……的前n項和是
6、 數列滿足，，則通項公式 ，前n項和
78、在數列中，已知______.
9，設，利用課本中推導等差數列前項和公式的方法，求
10、已知數列是等差數列，且，，
（1）求數列的通項公式； （2）令()，求數列前n項和的公式.
11、等比數列的首項為ａ，公比為ｑ，sn為其前ｎ項和，求和：s1+s2+s3+…＋sｎ
12、已知數列的通項公式，求數列的前n項的和.
13、非等比數列中，前n項和， （1）求數列的通項公式；（）
（2）設，，是否存在最大的整數m，使得對任意的n 均有總成立？若存在，求出m；若不存在，請說明理由。（最大整數為8）
求數列前N項和的常用方法
核心提示 求數列的前n項和要借助於通項公式，即先有通項公式，再在分析數列通項公式的基礎上，或分解為基本數列求和，或轉化為基本數列求和。當遇到具體問題時，要注意觀察數列的特點和規律，找到適合的方法解題。一.用倒序相加法求數列的前n項和 如果乙個數列，與首末項等距的兩項之和等於首末兩項之和，可採用把正著...
等比數列的前n項和公式的幾種推導方法
山東張吉林 山東省萊州五中郵編261423 等比數列的前n項和公式是學習等比數列知識中的重點內容之一，其公式 當時，或 當q 1時，本身不僅蘊涵著分類討論的數學思想，而且用以推導等比數列前n項和公式的方法 錯位相減法，更是在歷年高考題目中頻繁出現。本文變換視野 轉換思維，從不同的角度加以推導，以加深...
等差數列的前n項和
2.3.2等差數列的前n項和 一 探索發現 1.等差數列的前項和公式1 2.等差數列的前項和公式2 新課講授。等差數列的前n項和常用的性質 1 等差數列的依次k項之和，sk，s2k sk，s3k s2k 組成公差為 的等差數列 2 數列是等差數列sn an2 bn a，b為常數 數列為等差數列 3 ...