重慶市黔江新華中學校何超
數列的通項公式是研究數列的重要依據，下面介紹幾種求數列通項公式的方法，供大家參考：
一、觀察法
例1：根據數列的前4項，寫出它的乙個通項公式：
（1），，，，…
（2）（3）
（4）解：（1）變形為：，，，，……
∴通項公式為：
（2） （3） （4）.
點評：觀察各項的特點，關鍵是找出各項與項數n的關係。
二、公式法
例2： 已知數列是公差為的等差數列，數列是公比為的()的等比數列，若函式，且，，，，
(1)求數列和的通項公式；
解：(1)∵，，
∴， ∴，
∴；又，，
∴，由，得，
∴。點評：當已知數列為等差或等比數列時，可直接利用等差或等比數列的通項公式，只需求得首項及公差公比。
三、由的前項和與間的關係，求通項
已知數列的通項公式，可以求出的前項和；反過來，
若已知的前項和，如何求呢？
，當時，；當時，，
故此處應注意並非對所有的都成立，而只對當且為正整數時成
立，因此由求時必須分和兩種情況進行討論．
例3：設數列的前項和，求數列的通項公式．
解：當時，；
當時，．
此式對也適用．
點評：利用數列的前項和求數列的通項公式時，要注意是否也滿足
得出的表示式，若不滿足，數列的通項公式就要用分段形式寫出．
四、兩式相減或相除，消項求通項
例4：數列滿足，求．
解： ，
兩式相減，得． ．
又時，也適合上式，．
例5：數列中，，且滿足，求.
解:,兩式相除,得
當時, ,上式不符合,故
五、待定係數法
例6：設數列的各項是乙個等差數列與乙個等比數列對應項的和，若，，，，求通項公式.
解：設點評：用待定係數法解題時，常先假定通項公式或前n項和公式為某一多項式，一般地，若數列為等差數列：則，（b、ｃ為常數），若數列為等比數列，則，。
六、利用遞推關係，求通項公式
根據題目中所給的遞推關係，可構造等差數列或採取疊加，疊乘的方法，消去中間項求通項公式．
1、型 （d為常數）
形如的遞推數列求通項公式，將此類數列變形得，再由
等差數列的通項公式可求得.
例7：已知數列中，求的通項公式.
解：∵ ∴
∴ 是以為首項，為公差的等差數列.
∴為所求的通項公式.
2、型 形如的遞推數列求通項公式，可用差分法.
例8：已知數列中滿足，，求的通項公式.
解：作差，則
，，，……，，
將上面n-1個等式相加得
∴為所求的通項公式.
3、型形如的遞推數列求通項公式，將此類數列變形得
，再由等比數列的通項公式可求得.
例9：已知數列中滿足，，求的通項公式.
解：∵ ∴
∴ 是以為首項，為公比的等比數列.
∴為所求的通項公式.
4、型形如的遞推數列求通項公式，可用累乘法.
例10：已知數列中滿足，，求的通項公式.
解：∵ ∴.
∴∴∴為所求的通項公式.
5、型 （c，d為常數）
形如的遞推數列求通項公式，可通過適當換元，轉換成等比數列或等差數列求解.
例11：已知中且求此數列的通項公式.
解：，則.與進行比較，可得， 則有 .
設， 則有.
∴是以為首項，為公比的等比數列
，∴6、型 （k為常數）
形如的遞推數列求通項公式，可對已知遞推式適當變形，通過累加
或累積求得通項.
例12：已知數列中，，，求.
解法一：將原遞推式化作：，則
數列是以首項為，公比為的等比數列.
， 解法二：將原遞推式化作： ， 則
兩式相減得： ∴數列{}是以首項為，公比為的等比數列.∴， 又
.7、型 （c，d為常數）
形如的遞推數列求通項公式，可通過適當換元，轉換成等比數列或等差數列求解.
例13：已知數列，，，，求.
解：∵∴∴{}是以為公比，為首項的等比數列.∴∴
評注：可以變形為，則可從，，解得，，於是是公比為的等比數列，這樣就可轉化為型別六進行求解.
小結：等差數列或等比數列是兩類最基本的數列，是數列部分的重點，也是高考考查的熱點.而主要考查學生分析問題和解決問題的能力，這個能力往往集中在「轉化」的水平上.
也就是說，把不同的遞推公式，經過相應的變形手段，轉化成比較熟悉的等差數列或等比數列進行求解.
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