遞推式求數列通項公式常見型別及解法
對於由遞推式所確定的數列通項公式問題，通常可通過對遞推式的變形轉化成等差數列或等比數列，也可以通過構8造把問題轉化。下面分類說明。
一、型例1. 在數列中，已知，求通項公式。
解：已知遞推式化為，即，
所以。將以上個式子相加，得
，所以。
二、型例2. 求數列的通項公式。
解：當，
即當，所以。
三、型例3. 在數列中，，求。
解法1：設，對比，得。於是，得，以3為公比的等比數列。
所以有。
解法2：又已知遞推式，得
上述兩式相減，得，因此，數列是以為首項，以3為公比的等比數列。
所以，所以。
四、型例4. 設數列，求通項公式。
解：設，則，，
所以，即。
設這時，所以。
由於是以3為首項，以為公比的等比數列，所以有。
由此得：。
說明：通過引入一些尚待確定的係數轉化命題結構，經過變形與比較，把問題轉化成基本數列（等差或等比數列）。
五、型例5. 已知b≠0，b≠±1，，寫出用n和b表示an的通項公式。
解：將已知遞推式兩邊乘以，得，又設，於是，原遞推式化為，仿型別三，可解得，故。
說明：對於遞推式，可兩邊除以，得，引入輔助數列，然後可歸結為型別三。
六、型例6. 已知數列，求。
解：在兩邊減去。
所以為首項，以。
所以令上式，再把這個等式累加，得
。所以 。
說明：可以變形為，就是
，則可從，解得，於是是公比為的等比數列，這樣就轉化為前面的型別五。
等差、等比數列是兩類最基本的數列，是數列部分的重點，自然也是高考考查的熱點，而考查的目的在於測試靈活運用知識的能力，這個「靈活」往往集中在「轉化」的水平上。
轉化的目的是化陌生為熟悉，當然首先是等差、等比數列，根據不同的遞推公式，採用相應的變形手段，達到轉化的目的。
附：構建新數列巧解遞推數列競賽題
遞推數列是國內外數學競賽命題的「熱點」之一，由於題目靈活多變，答題難度較大。本文利用構建新數列的統一方法解答此類問題，基本思路是根據題設提供的資訊，構建新的數列，建立新數列與原數列對應項之間的關係，然後通過研究新數列達到問題解決之目的。其中，怎樣構造新數列是答題關鍵。
1 求通項
求通項是遞推數列競賽題的常見題型，這類問題可通過構建新數列進行代換，使遞推關係式簡化，這樣就把原數列變形轉化為等差數列、等比數列和線性數列等容易處理的數列，使問題由難變易，所用的即換元和化歸的思想。
例1、數列中，，。求。
（2023年第22屆imo預選題）
分析本題的難點是已知遞推關係式中的較難處理，可構建新數列，令，這樣就巧妙地去掉了根式，便於化簡變形。
解：構建新數列，使
則 ， ，即
化簡得，即數列是以2為首項，為公比的等比數列。
即2 證明不等式
這類題一般先通過構建新數列求出通項，然後證明不等式或者對遞推關係式先進行巧妙變形後再構建新數列，然後根據已經簡化的新數列滿足的關係式證明不等式。
例2、設， ，求證：。
（2023年匈牙利數學奧林匹克試題）
分析利用待證的不等式中含有及遞推關係式中含有這兩個資訊，考慮進行三角代換，構建新數列，使，化簡遞推關係式。
證明：易知，構建新數列，使，
則 ，又， ，從而
因此，新數列是以為首項，為公比的等比數列。
考慮到當時，有。所以，
注：對型如，，都可採用三角代換。
3 證明是整數
這類題把遞推數列與數論知識結合在一起，我們可以根據題目中的資訊，構建新數列，找到新的遞推關係式直接解決，或者再進行轉化，結合數論知識解決。
例3、設數列滿足，
求證： 。
分析直接令，轉化為證明
證明：構建新數列，令
則， 代入整理得
從而於是由已知，，，由上式可知，，，依次類推， ，即。
例4、設r為正整數，定義數列如下：， 求證：。
（2023年中國台北數學奧林匹克試題）
分析把條件變形為比較與前的係數及與的足碼，考慮到另一項為，等式兩邊同乘以，容易想到構新數列，使。
證明：由已知得
構建新數列，
則，又 |
|，從而。
4 解決整除問題
一般通過構建新數列求出通項，再結合數論知識解決，也可用數學歸納法直接證明。
例5、設數列滿足，，對一切，有
，求所有被11整除的的一切n值。
（2023年巴爾幹地區數學奧林匹克試題）
分析變形遞推關係式為，就容易想到怎樣構建新數列了。
解：由已知
構建新數列
則，從而，，，當時，由於被11整除，因而也被11整除。
所以，所求n值為，8，及的一切自然數。
5 證明是完全平方數
這類題初看似乎難以入手，但如能通過構建新數列求出通項，問題也就迎刃而解了。
例6、設數列和滿足，，且
求證：是完全平方數。
（2023年全國高中聯賽加試題）
分析先用代入法消去和，得，如果等式中沒有常數項6，就可以利用特徵根方法求通項，因此可令，易求得。
證明：由①式得， 代入②得
化為構建新數列，，且，
由特徵方程得兩根
， 所以
當，1時，有
解得：則則因為為正偶數，所以，是完全平方數。
從上述各題構建新數列的過程中，可以看出對題設中遞推式的觀察、分析，並據其結構特點進行合理變形，是成功構建新數列的關鍵。構建新數列的目的是為了化繁為簡、化未知為已知、化不熟悉為熟悉，這也是解答數學問題的共性之所在。
求數列通項公式的十種方法
一 公式法 例1 已知數列滿足，求數列的通項公式。解 兩邊除以，得，則，故數列是以為首項，以為公差的等差數列，由等差數列的通項公式，得，所以數列的通項公式為。評注 本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，說明數列是等差數列，再直接利用等差數列的通項公式求出，進而求出數列的通項公式。二 累加法 例2 已知...
十種求數列通項公式的方法
高考資源網求數列通項公式的方法 一 公式法 例1 已知數列滿足，求數列的通項公式。解 兩邊除以，得，則，故數列是以為首項，以為公差的等差數列，由等差數列的通項公式，得，所以數列的通項公式為。評注 本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，說明數列是等差數列，再直接利用等差數列的通項公式求出，進而求出數列的...
求數列通項公式的6種方法
求數列通項公式的十一種方法 方法全，例子全，歸納細 總述 一 利用遞推關係式求數列通項的7種方法 累加法 累乘法 待定係數法 倒數變換法 由和求通項 定義法 根據各班情況適當講 二。基本數列 等差數列 等比數列。等差數列 等比數列的求通項公式的方法是 累加和累乘，這二種方法是求數列通項公式的最基本方...