求數列通項公式的十一種方法（方法全，例子全，歸納細）
總述：一．利用遞推關係式求數列通項的7種方法：
累加法、
累乘法、
待定係數法、
倒數變換法、
由和求通項
定義法（根據各班情況適當講）
二。基本數列：等差數列、等比數列。等差數列、等比數列的求通項公式的方法是：累加和累乘，這二種方法是求數列通項公式的最基本方法。
三 ．求數列通項的方法的基本思路是：把所求數列通過變形，代換轉化為等差數列或等比數列。
四．求數列通項的基本方法是：累加法和累乘法。
五．數列的本質是乙個函式，其定義域是自然數集的乙個函式。
一、累加法
1．適用於這是廣義的等差數列累加法是最基本的二個方法之一。
例1 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由得則
所以數列的通項公式為。
例2 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解法一：由得則
所以解法二：兩邊除以，得，
則，故因此，
則練習1.已知數列的首項為1，且寫出數列的通項公式答案：
練習2.已知數列滿足，，求此數列的通項公式答案：裂項求和
評注：已知,，其中f(n)可以是關於n的一次函式、二次函式、指數函式、分式函式，求通項.
若f(n)是關於n的一次函式，累加後可轉化為等差數列求和;
若f(n)是關於n的二次函式，累加後可分組求和;
若f(n)是關於n的指數函式，累加後可轉化為等比數列求和;
若f(n)是關於n的分式函式，累加後可裂項求和。
二、累乘法
1適用於這是廣義的等比數列
累乘法是最基本的二個方法之二。
2．若，則
兩邊分別相乘得，
例4.設是首項為1的正項數列，且（=1，2， 3，…），則它的通項公式是
解：已知等式可化為：
() (n+1), 即
時， ==.
評注：本題是關於和的二次齊次式，可以通過因式分解（一般情況時用求根公式）得到與的更為明顯的關係式，從而求出.
練習.已知,求數列{}的通項公式.
三、待定係數法適用於
基本思路是轉化為等差數列或等比數列，而數列的本質是乙個函式，其定義域是自然數集的乙個函式。
1．形如,其中)型
例6已知數列中，，求數列的通項公式。
解法一：
又是首項為2，公比為2的等比數列
，即解法二：
兩式相減得，故數列是首項為2，公比為2的等比數列，再用累加法的……
練習．已知數列中，求通項。
答案：2．形如： (其中q是常數，且n0,1)
若p=1時，即：，累加即可.
若時，即：，
求通項方法有以下三種方向：. 兩邊同除以.目的是把所求數列構造成等差數列
即： ,令，則,然後型別1，累加求通項.
.兩邊同除以. 目的是把所求數列構造成等差數列。
即： ,
令,則可化為.然後轉化為型別5來解，
.待定係數法：目的是把所求數列構造成等差數列
設.通過比較係數，求出，轉化為等比數列求通項.
注意：應用待定係數法時，要求pq，否則待定係數法會失效。
例7已知數列滿足，求數列的通項公式。
解法一（待定係數法）：設，比較係數得，
則數列是首項為，公比為2的等比數列，
所以，即
解法二（兩邊同除以）： 兩邊同時除以得：，下面解法略
解法三（兩邊同除以）： 兩邊同時除以得：，下面解法略
**3．形如 (其中k,b是常數，且)
例8 在數列中，求通項.（逐項相減法）
解時，，
兩式相減得.令,則
利用型別5的方法知即
再由累加法可得. 亦可聯立解出.
**5.形如時將作為求解
分析：原遞推式可化為的形式，比較係數可求得，數列為等比數列。
例11 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設比較係數得或，不妨取，（取-3 結果形式可能不同，但本質相同）
則，則是首項為4，公比為3的等比數列
，所以練習.數列中，若,且滿足,求.
答案：.
四、倒數變換法適用於分式關係的遞推公式，分子只有一項
例16 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：求倒數得為等差數列，首項，公差為，
五、由和求通項
已知數列的各項均為正數，且前n項和滿足求數列的通項公式。
例19 已知數列的各項均為正數，且前n項和滿足，且成等比數列，求數列的通項公式。
解：∵對任意有
∴當n=1時，，解得或
當n≥2時， ⑵
-⑵整理得：
∵各項均為正數，∴
當時，，此時成立
當時，，此時不成立，故捨去
所以練習。已知數列中,且,求數列的通項公式.
答案定義法
16．已知等比數列的公比q=3，前3項和
（i）求數列的通項公式；
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