遞推數列的通項公式的十一種求法
一、累加法：an = a1 +（a2―a1）+……+（an―an―1）。 型如an+1=an+f（n）的遞推數列
例1 已知an+1＝an ＋2n+1 ，a1＝1 ，求數列的通項公式。
解： ∴通項公式為
例2 已知an+1 = an +2×3n+1，a1 = 3，求數列的通項公式。
解： 已知得 an+1 －an = 2×3n+1
∴例3 已知an+1 = 3an +2×3n+1，a1 = 3，求數列的通項公式。
解：已知兩邊除以， 得 ，則，則
關鍵是把轉化為，求得數列的通項公式。
二、累乘法: 型如: an = g（n）an－1 的遞推數列
例4 已知an＝ n（an+1 － an ），n∈n*，a1 = 1，求數列的通項公式。
解：已知得
當n=1時a1 = 1，滿足an = nan = n.
例5 已知an+1 =2（n+1）5n×an ，a1 = 3，求數列的通項公式。
解： 已知得an ≠0，an+1 /an ＝2（n+1）5n
∴ 通項公式為
關鍵是把遞推關係轉化為
例6 已知，求的通項公式。
解：因為
所以②－①得則故
∴an ＝ an /an－1 ×an－1 /an－2 ×……×a3 /a2 ×a2
＝n×（n－1）×……×4×3 ×a2＝n！/2×a2 ③
n=2由①可得a2 ＝a1＝1 ， 代入③得通項公式：
關鍵是把遞推關係式轉化為。
三、構造新數列: 將遞推公式 （為常數，和1， ）
設為變成的方法叫構造新數列.
例7 已知an =2an－1 +1，n≥2，a1 = 1，求數列的通項公式。
解: 設, 求得,
是首項為,公比為2的等比數列,即,
四、常用公式，等差通項an=a1+（n－1）d ， 等比通項an=a1qn－1
例8 已知無窮數列的前項和為，並且，求的通項公式。
解： ， ，又， .
例9 已知數列滿足an+1 =2an +3×2n ，a1 = 2，求數列的通項公式。
解： 兩邊除以，得， 則，
數列是以為首項，以為公差的等差數列，得，
∴ 數列的通項公式為。
五、倒數變換：將遞推數列取倒數變成
例10 已知數列中, , ,求數列的通項公式.
解: 已知取倒數:, ,
是以為首項,公差為2的等差數列.,.
注意: 新數列的首項取倒數 , 公差或公比變化了.
六、待定係數法
例11 已知an+1 =2an+3×5n ，a1 = 6，求數列的通項公式。
解：設an+1 +x×5n+1 =2（an+x×5n
將an+1 =2an+3×5n代入① 得 2an+3×5n +x×5n+1 =2an+2x×5n
得3+5x=2x ∴ x=－1
代入①得 an+1 －5n+1 =2（an－5n
由a1－5=6－5≠0 及 ② 得，則
數列是首項為a1－5=1、公比為2的等比數列， ∴ an＝2n－1 ＋ 5n
關鍵是把an+1 =2an+3×5n轉化為an+1－5n+1＝2（an－5n），數列是等比數列。
例12 已知數列滿足an+1 ＝3an+5×2n +4，a1 = 1，求數列的通項公式。
解：設an+1 +x×2n+1 +y＝3（an+x×2n+y
將an+1 ＝3an+5×2n +4 代入 ① 得 3an+5×2n +4 +x×2n+1 +y＝3（an+x×2n +y）
整理得（5+2x）2n + 4 + y ＝ 3x×2n + 3y
令，則，代入①式得 ②
由及②式，得，則，
故數列是以為首項，以3為公比的等比數列，
因此，則。
關鍵是化遞推關係式 an+1 ＝3an+5×2n +4 為 an+1 +5×2n+1 +2＝3（an+5×2n+2）
可知數列是等比數列。
例13 已知數列滿足an+1 ＝2an+3n2+4n+5，a1 = 1，求數列的通項公式。
解：設an+1 +x（n+1）2+y（n+1）+z ＝2（an+xn2+yn+z） ①
將an+1 ＝2an+3n2+4n+5代入①式，得
，則等式兩邊消去，得，
解方程組，則，代入①式，得
an+1+3（n+1）2+10（n+1）+18＝2（an+3n2+10n+18） ②
由及②式，得
則，數列以為首項，以2為公比的等比數列，
因此，則。
關鍵是轉化an+1 ＝2an+3n2+4n+5 為 an+1+3（n+1）2+10（n+1）+18＝2（an+3n2+10n+18）
∴ 數列是等比數列。
1. 已知,, 求數列通項公式.
2. 已知a1=1，an＝a1+2 a2+3a3＋（n－1）an－1，n≥2，n≥2，求數列的通項公式
3. 已知a1=1，an＝3n－1＋an－1，n≥2，求數列的通項公式.
4. 已知數列的前n項和sn滿足lg（sn+1）=n ，n∈n*， 試證數列是等比數列.
5. 已知a1=1，an+1=2an/（an+2）， 求數列的通項公式.
6.設正數組成的數列的前n項和為sn， 對所有自然數n：an與1的等差中項等於sn與1的
等比中項，求數列的通項公式.
1、=.
2、時, ,
作差得:,,, , ,
3、an＝（3n－1）/2
4、證明：由已知得：，當時，滿足上式.
的通項公式,時為常數,所以為等比數列.
5、an＝2/（n+1） 6、由已知可求, , ,猜測.(用數學歸納法證明).
七、對數變換法
例14 已知數列滿足an+1 ＝2×3n ×an 5，a1 = 7，求數列的通項公式。
解：顯然an＞0，an+1 ＞0，取常用對數： lg an+1 ＝5lgan+nlg3+lg2 ①
設 lg an+1 +x（n+1）+y ＝ 5（lgan+xn+y
將①代入②：5lgan+nlg3+lg2 + x（n+1）+y ＝ 5（lgan+xn+y），消去，得
，則 ，故
代入②得 ③
由及 ③
得， 則，
數列是以為首項，以5為公比的等比數列，
， ∴ ，n∈n*。
關鍵是取對數化為
可知數列是等比數列，再求出數列的通項公式。
八、迭代法
例15 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解1：∴通項公式
解2：取對數得 ，即，
，九、由前幾項歸納猜出通項公式，再用數學歸納法證明其正確性，這種方法叫數學歸納法
例16 已知數列中，，，求數列的通項公式.
解： ，， ，
猜測，再用數學歸納法證明.（略）
例17 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由及，得
由此可猜測，往下用數學歸納法證明這個結論。
（1）當n=1時，，所以等式成立。
（2）假設當n=k時等式成立，即，則當n=k+1時，
由此可知，當時等式也成立。
根據（1），（2）可知，等式對任何都成立。
關鍵是先求出數列的前幾項，進而猜出數列的通項公式，最後再用數學歸納法加以證明。
十、換元法
例18 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：令，則
故，代入得
即因為，故
則，即， 化為，
∴是首項為，公比為的等比數列，
因此， 則 ， 即
，n∈n*。
關鍵是將換元為，遞推關係式轉化形式，數列為等比數列。
十一、特徵根法：二階遞推式an＝pan―1 ＋qan―2 ，n≥3
⑴方程 x2＝px＋q 的兩根x1、x2分別是等比數列 、的公比
∵x2―px―q＝0 得x1＋x2＝p ，x1×x2＝－q ∴ 遞推式化為
an－x2an―1 ＝x1（an―1－x2an―2） 或an－x1an―1 ＝x2（an―1－x1an―2）
∴數列、都是等比數列
⑵數列的通項公式an＝ax1n ＋bx2n
例19 已知數列中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2，n≥3，求通項公式an。
解1：由已知得 an＋an－1＝3（an－1＋an－2），n≥3，∴是等比數列，公比q1=3
an＋an－1＝（a2＋a1）3n－2 ＝ 7×3n－2
由已知得an－3an－1＝－（an－1－3an－2），n≥3，∴是等比數列，公比q2=－1
an－3an－1＝（a2－3a1）（－1）n－2＝13（－1）n－2 ②
解①②得通項：
an ＝[7×3n－1 ＋ 13（－1）n－1] /4 ，n∈n*
解2：由已知得方程x2=2x+3 ，得特徵根 x1= 3，x2=－1 ，
設通項an ＝a×3n ＋ b（－1）n ， 代入a1＝5 ，a2＝2 ，得a=7/4 ，b= 13/4
∴通項：an ＝[7×3n ＋ 13（－1）n] / 12 ，n∈n*
例20 已知數列中，a1＝1，a2＝2，an+2＝2/3an+1＋1/3an ，求通項公式an。
答案：an ＝9/4×（－1/3）n ＋ 7/4 ，n∈n*
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