題型四：求數列的通項公式
一.公式法：當題中已知數列是等差數列或等比數列，在求其通項公式時我們就可以直接利用等差或等比數列的公式來求通項，只需求得首項及公差公比。
二.當題中告訴了數列任何前一項和後一項的遞推關係即：和an-1的關係時我們可以根據具體情況採用下列方法
1、疊加法：一般地，對於型如類的通項公式，且的和比較好求，我們可以採用此方法來求。
即： ；
【例1】已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：（1）由題知：
2、疊乘法：一般地對於形如「已知a1，且=f（n）（f（n）為可求積的數列）」的形式可通過疊乘法求數列的通項公式。即： ；
【例2】在數列｛｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表示式。
解：由(n+1)·=n·得，
所以3、構造法：當數列前一項和後一項即和an-1的遞推關係較為複雜時，我們往往對原數列的遞推關係進行變形，重新構造數列，使其變為我們學過的熟悉的數列（等比數列或等差數列）。具體有以下幾種常見方法。
（1）、待定係數法：
①、一般地對於an =kan-1 +m(k、m為常數）型，可化為的形式an +λ=k(an-1 +λ).重新構造出乙個以k為公比的等比數列，然後通過化簡用待定係數法求λ，然後再求。
【例3】設b>0,數列滿足a1=b，.
求數列的通項公式；
解：，得，
設，則，
（ⅰ）當時，是以為首項，為公差的等差數列，
即，∴（ⅱ）當時，設，則，
令，得， ，
知是等比數列，，又，
，．②、對於這種形式,一般我們討論兩種情況：
、當f(n)為一次多項式時，即數列的遞推關係為型，可化為的形式來求通項。
【例4】設數列中，，求的通項公式。
解：設 與原式比較係數得：即
令、當f(n)為指數冪時，即數列遞推關係為（a、b、c為常數，）型，可化為=）的形式.構造出乙個新的等比數列，然後再求
當a=c時，我們往往也會採取另一種方法，即左右兩邊同除以cn +1,重新構造數列，來求。
【例5】設為常數，且（），
證明：對任意n≥1，
解：證明：設用代入可得
∴ 是公比為，首項為的等比數列，
∴ （），
即： （2）、倒數法：一般地形如、等形式的遞推數列可以用倒數法將其變形為我們熟悉的形式來求通項公式。
【例6】.已知數列滿足：，求的通項公式。
解：原式兩邊取倒數得：
即（3）、對數法：當數列和an-1的遞推關係涉及到高次時，形如：anp = man-1q（其中m、p、q為常數）等，我們一般採用對數法，等式兩邊分別取對數，進行降次，再重新構造數列進行求解。
【例7】若數列{}中，=3且（n是正整數），則它的通項公式是=▁▁▁
解由題意知＞0，將兩邊取對數得，即，所以數列是以=為首項，公比為2的等比數列， ，即.
（4）、特徵方程法
①、一般地對於形如已知an+2=a an+1 +b an (a、b是常數）的二階遞推數列，我們可以採取兩種方法來求通項。
法一：可用特徵方程的方法求解：
我們稱方程：x2-ax-b=0為數列的特徵方程
（）當方程有兩個相異的實根（或虛根）p、q時，有：，其中c1與c2由已知確定。
（）當方程有唯一的實根p時，有，其中c1與c2由已知確定。
法二：可構造成，則{}為等比數列，進而求通項公式，這種方法過程較為繁雜。
【例8】已知 a 1 =2， a 2 =3，，求通項公式。
解法一：特徵方程的根為1，所以an = (c1 n+c2)×1n
由：得c1 = c2 = 1，所以an = n + 1。
解法二：設，可得x 1 = x 2 = 1，於是是公比為1的等比數列，an+1－an = 1，所以an = n + 1。
②、一般地形如：（a、b、c、d為常數）
可得到相應的特徵方程：，再將其變為，通過該方程的根的情況來重新構造數列。
（）如果方程有兩個相異的實根，則有數列是以為首項，為公比的等比數列；
（）如果方程有兩個相同的實根，則數列是以為首項，為公差的等差數列。
【例9】已知數列滿足，求數列的通項．
解：其特徵方程為，化簡得，解得，令
由得，可得，
數列是以為首項，以為公比的等比數列，，．
三 、當題中給出的是sn 和的關係時，我們一般通過作差法結合an = sn－sn－1 這個通用公式對原等式進行變形，消掉sn得到和an+1的遞推關係，或消掉得到sn 和sn－1的遞推關係，然後重新構造數列求通項公式。
【例10】已知數列的前項和為，且滿足：， n*，．求數列的通項公式；
解：（i）由已知可得，兩式相減可得
即又所以r=0時，數列為：a，0，…，0，…；
當時，由已知（），
於是由可得，
成等比數列，，
綜上，數列的通項公式為
【例11】已知各項均為正數的數列{}的前n項和滿足，且
求{}的通項公式；
解：由，解得a1＝1或a1＝2，由假設a1＝s1＞1，因此a1＝2。
又由an+1＝sn+1- sn＝，
得an+1- an-3＝0或an+1＝-an
因an＞0，故an+1＝-an不成立，捨去。
因此an+1- an-3＝0。從而｛an｝是公差為3，首項為2的等差數列，故｛an｝的通項為an＝3n-2。
求數列通項公式的方法
分析 則，兩式相除既得，從而求出 故。選c 二 需要理解的求數列通項公式的方法 構造法。需要理解就是能熟練地運用知識解決問題，對其理論思想清楚。例4 已知數列中，且。求的表示式。解析1 由得 等式兩邊同時除以得 數列是以首項為，公差為2的等差數列。解析2 由兩邊同時取倒數得 數列是以首項為，公差為2...
求數列的通項公式
主講教師 莊肅欽 知識概述 1.數列是高考數列命題的重要考點，考查目標則是考查學生的觀察能力 抽象概括能力 計算能力 分析問題與解決問題的能力 轉化與化歸能力和推理運算能力等，在數列中蘊含著大量的思想方法，同時也是考查同學們數學能力的乙個重要載體.命題的形式則比較靈活，在選擇填空題和解答題中都有出現...
求數列通項公式an的常用方法
一.遞推數列求通項問題 一 觀察法 已知數列前若干項，求該數列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規律，從而 根據規律寫出此數列的乙個通項。例1 已知數列寫出此數列的乙個通項公式。解觀察數列前若干項可得通項公式為 二 公式法 1 運用等差 等比 數列的通項公式.2 已知數列前項和，則 注意 不能忘...