一、公式法
例1 已知數列滿足,,求數列的通項公式。
解:兩邊除以,得,則,故數列是以為首項,以為公差的等差數列,由等差數列的通項公式,得,所以數列的通項公式為。
評注:本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為,說明數列是等差數列,再直接利用等差數列的通項公式求出,進而求出數列的通項公式。
二、累加法
例2 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解:由得則
所以數列的通項公式為。
評注:本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為,進而求出,即得數列的通項公式。
例3 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解:由得則
所以評注:本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為,進而求出,即得數列的通項公式。
例4 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解:兩邊除以,得,
則,故因此,
則評注:本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為,進而求出,即得數列的通項公式,最後再求數列的通項公式。
三、累乘法
例5 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解:因為,所以,則,故
所以數列的通項公式為
評注:本題解題的關鍵是把遞推關係轉化為,進而求出,即得數列的通項公式。
例6 (2023年全國i第15題,原題是填空題)已知數列滿足,求的通項公式。
解:因為 ①
所以 ②
用②式-①式得則故
所以 ③
由,,則,又知,則,代入③得。
所以,的通項公式為
評注:本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為,進而求出,從而可得當的表示式,最後再求出數列的通項公式。
四、待定係數法
例7 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解:設 ④
將代入④式,得,等式兩邊消去,得,兩邊除以,得代入④式得 ⑤
由及⑤式得,則,則數列是以為首項,以2為公比的等比數列,則,故。
評注:本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為,從而可知數列是等比數列,進而求出數列的通項公式,最後再求出數列的通項公式。
例8 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解:設 ⑥
將代入⑥式,得
整理得。
令,則,代入⑥式得
⑦由及⑦式,
得,則,
故數列是以為首項,以3為公比的等比數列,因此,則。
評注:本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為,從而可知數列是等比數列,進而求出數列的通項公式,最後再求數列的通項公式。
例9 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解:設 ⑧
將代入⑧式,得
,則等式兩邊消去,得,
解方程組,則,代入⑧式,得
⑨由及⑨式,得
則,故數列為以為首項,以2為公比的等比數列,因此,則。
評注:本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為,從而可知數列是等比數列,進而求出數列的通項公式,最後再求出數列的通項公式。
五、對數變換法
例10 已知數列滿足,,求數列的通項公式。
解:因為,所以。在式兩邊取常用對數得 ⑩
設將⑩式代入式,得,兩邊消去並整理,得,則
,故代入式,得
由及式,
得,則,
所以數列是以為首項,以5為公比的等比數列,則,因此
則。評注:本題解題的關鍵是通過對數變換把遞推關係式轉化為,從而可知數列是等比數列,進而求出數列的通項公式,最後再求出數列的通項公式。
六、迭代法
例11 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解:因為,所以
又,所以數列的通項公式為。
評注:本題還可綜合利用累乘法和對數變換法求數列的通項公式。即先將等式兩邊取常用對數得,即,再由累乘法可推知,從而。
七、數學歸納法
例12 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解:由及,得
由此可猜測,往下用數學歸納法證明這個結論。
(1)當時,,所以等式成立。
(2)假設當時等式成立,即,則當時,
由此可知,當時等式也成立。
根據(1),(2)可知,等式對任何都成立。
評注:本題解題的關鍵是通過首項和遞推關係式先求出數列的前n項,進而猜出數列的通項公式,最後再用數學歸納法加以證明。
八、換元法
例13 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解:令,則
故,代入得
即因為,故
則,即,
可化為,
所以是以為首項,以為公比的等比數列,因此,則,即,得
。評注:本題解題的關鍵是通過將的換元為,使得所給遞推關係式轉化形式,從而可知數列為等比數列,進而求出數列的通項公式,最後再求出數列的通項公式。
九、不動點法
例14 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解:令,得,則是函式的兩個不動點。因為
。所以數列是以為首項,以為公比的等比數列,故,則。
評注:本題解題的關鍵是先求出函式的不動點,即方程的兩個根,進而可推出,從而可知數列為等比數列,再求出數列的通項公式,最後求出數列的通項公式。
例15 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解:令,得,則是函式的不動點。
因為,所以
。評注:本題解題的關鍵是通過將的換元為,使得所給遞推關係式轉化形式,從而可知數列為等比數列,進而求出數列的通項公式,最後再求出數列的通項公式。
九、不動點法
例14 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解:令,得,則是函式的兩個不動點。因為
。所以數列是以為首項,以為公比的等比數列,故,則。
評注:本題解題的關鍵是先求出函式的不動點,即方程的兩個根,進而可推出,從而可知數列為等比數列,再求出數列的通項公式,最後求出數列的通項公式。
例15 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解:令,得,則是函式的不動點。
因為,所以
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