用構造法求數列的通項公式
在高中數學教材中，有很多已知等差數列的首項、公比或公差(或者通過計算可以求出數列的首項,公比),來求數列的通項公式。但實際上有些數列並不是等差、等比數列,給出數列的首項和遞推公式,要求出數列的通項公式。而這些題目往往可以用構造法，根據遞推公式構造出乙個新數列，從而間接地求出原數列的通項公式。
對於不同的遞推公式，我們當然可以採用不同的方法構造不同的型別的新數列。下面給出幾種我們常見的構造新數列的方法：
一． 利用倒數關係構造數列。
例如：中，若求an
+4,即＝４，
｝是等差數列。
可以通過等差數列的通項公式求出,然再求後數列的通項。
練習：1)數列中，an≠0，且滿足求an
2)數列中，求an通項公式。
3)數列中,求an.
二． 構造形如的數列。
例：正數數列中，若
解：設練習：已知正數數列中，,
求數列的通項公式。
三． 構造形如的數列。
例：正數數列中，若a1=10,且求an.
解：由題意得：，
即 .即練習：（選自2023年高考上海卷）
數列中，若a1=3, ,n是正整數，求數列的通項公式。
四． 構造形如的數列。
例：數列中，若a1=6, an+1=2an+1, 求數列的通項公式。
解：an+1+1=2a n+2, 即an+1+1=2（an+1）
設 bn= an+1, 則bn = 2 bn-1
則數列是等比數列，公比是2,首項b１= a１+1＝7,
， 構造此種數列，往往它的遞推公式形如：
。如：an+1＝c an+d,設可化成an+1+x=c(an+x),
an+1=c an+(c-1)x
用待定係數法得： (c-1)x＝d
∴ x=.
又如：ｓn+an=n+2,
則 ｓn-1+an-1=n+1,
二式相減得：ｓn－ｓn-1 +a n－a n-1 =１，即a n +a n－a n-1 =１，
∴ 2 an－an-1=１，
an =an-1+.
如上提到bn = an ＋d = an –1
練習：1.數列滿足an+1=3an+2, 求an
2.數列滿足ｓn+an=2n+1,求an
構造形如的數列。an=0 (nn),求an。
五． 解： an+2 + 4 an+1 - 5an=0得： an+2 － an+1
例：數列中，若a1=１，a２=3,an+2 + 4 an+1 - 5= - 5（an＋１ － an
設bn = an＋１ －an，
則數列是等比數列，公比是-5,首項b１= a2- a1＝2,
∴an＋１ －an=2(-5)n-1
即a２ －a１=2(-5)
a３ －a２=2(-5)２
┄a４ －a３=2(-5)３
an －an－１=2(-5)n-2
以上各式相加得：an －a１=2［（-5）＋(-5)２＋(-5)３＋┄＋（-5）n-1］
即：an －a１=2
，即，（n
當遞推公式中，an＋１與an的係數相同時，我們可構造bn = an＋１ －an，然後用疊加法得：b1+b2+b3+b4+┄+bn = an-a1
通過求出數列｛bn｝前n-1項和的方法，求出數列的通項公式。
1) 當遞推公式中形如:
an+1=a n+an+b ; an+1=a n+qn(q≠1) ; an+1=a n+qn +an+b 等情形時，
可以構造bn = an＋１－an ,得: bn = an+b； bn = qn; bn =qn +an+b。
求出數列前n-1項的和tn-1,
tn-1=;
tn-1=；
tn-1=+
即： an －a１=;
an －a１=;
an －a１=+
從而求出 an =a１+;
an= a１+;
an =a１++。
2）當遞推公式中形如:
an+1=a n+；an+1=a n+；an+1=a n+等情形
可以構造bn = an＋１－an ,得:：bn =；bn =；bn =
即bn =；bn =；bn =
從而求出求出數列前n-1項的和tn-1,
tn-1=；tn-1=；tn-1=
即： an －a１=;
an －a１=;
an －a１=
從而求出 an =a１+;
an= a１+;
an =a１+
練習：1）數列中，若a1=1，an+1-a n=2n, 求通項an.
2）數列中，若a1=1，an+1-a n=2n, 求通項an.
3) 數列中，若a1=2，，求通項an.
六． 構造形如的形式。
例：數列中，若a1=1，，求an.
解：由得：
用累乘法把以上各式相乘得：
當遞推公式形如：；；等形式，我們可以構造。
可得然後用疊乘法得：。
令數列的前n-1項的積為an-1,則
從而得到： ； ；
；；。練習：1）數列中，若a1=2，，求an.
七． 構造形如的形式。
例：數列中，a1=2，sn=4an-1+1，求an.
解：sn=4an-1+1，sn-1=4an-2+1
二式相減：sn-sn-1=4an-1-4an-2
an =4an-1-4an-2
an -2an-1=2（an-1-an-2）
設bn=an+1-2an，
當遞推公式形如 sn+1=4an+2;an+2=pan+1+qan(p+q=1) 等形式時，因an-2an+1=2(an+1-2an);an+2-an+1=(p-1)(an+1-an),
我們構造bn=an+1-2an; bn=an+1-an,
由等比數列知識得bn=(a2-a1)·2n-1; bn=(a2-a1)·(p-1)n-1
從而得到an+1=2an+(a2-a1)2n-1;an+1=an(a2-a1)(1-q)n-1
由型別四求出an。
總之 ，對於很多數列，我們都可以由遞推公式構造新數列的方法求出他們的通項公式。當然，在教學中我們應當充分調動學生的積極性，努力培養學生的創造能力，讓學生自己去構造，自己去探索，使學生親嚐到成功樂趣，激起他們強烈的求知慾和創造欲。
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